《方程与宇宙》:拉格朗日点,复数,向量(五)

The New Calculation Of Lagrangian Point 4,5

上一回我们已经求出了拉格朗日点L1,L2,L3，并且希望能够求出L4,L5两个点。由于L4,L5与“地球-太阳”连线已经不共线了，所以前边的方法貌似不能够用了。为了得到一个通用的定义，我们可以采用以下方法来描述拉格朗日点：位于拉格朗日点的天体，它与太阳的连线以及地球与太阳的连线所组成的角的大小是恒定的。（这里为了方便，采用了地日系的拉格朗日点来描述，对于一般的三体问题是一样的）

对于L4,L5来说，我们或许可以设置一个新的向量来描述这两点的向径（如$\vec{R}$）。当我们这样做后，很快就会发现这样会令我们的计算走向死胡同。因为我们发现：已知两个向量的夹角和其中一个向量，我们很难把另一个向量用已知向量的式子表达出来。不能做到这一点，就不能找出$\vec{R}$与$\vec{r}$的关系，就无法联立方程求解。难道，我们这一条路走到尽头了吗？一开始BoJone也冥思苦想不得头绪，但是...

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且慢，BoJone在上一篇文章的末尾还提到：用复数可以很方便地研究几何！是的，这一问题用复数来解答就很简单了。首先介绍一下复数。为了解决负数开平方问题，数学家引入了一类形如$z=a+bi,i^2=-1,a,b\in R$的数，这样的数的集合称为复数。当时纯粹是为了计算方便而引入的，被认为当$b !=0$时这一类是只是“虚数”，毫无实际意义。但后来，科学家们却爱上了这一类数，因为它可以方便地研究实际中的几何、物理等问题...

复数有奇妙的性质，给出一些复数，不论你经过怎样的运算，结果总是一个复数（也就是说复数的运算结果总是可以写成$z=a+bi,i^2=-1,a,b\in R$的形式），这样，如果两个复数$a+bi$和$c+di$相等，必有a=c,b=d。（你有没有发现，这一点有点类似于向量？）。复数不能在一条数轴上描述，由于存在两个实数a,b，数学家采用“复平面”的方面，建立类似于XOY的坐标系，复平面任意一个点都代表了一个确定的复数。这样就把复数跟几何联系了起来。（还记得吗？平面直角坐标系上的任意一个点都代表了一个向量，聪明的你会把两者联系起来的）

复数的“模”（相当于实数的绝对值）定义为$r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}$，这很像向量的长度的求法。复数的加减乘除也有它可爱之处。$(a+bi)+-(c+di)=(a+-c)+(b+-d)i$（这像不像向量？）；两个复数相乘，结果也是一个复数，该复数的模等于两个复数的模的乘积，该复数的“辐角”（与实数轴的夹角）等于两个复数的辐角之和。（这貌似定义了一种新的向量运算？）。关于复数，就简单地描述到这里了，本文章并非描述复数文章，因此不加详述，希望深入研究的读者，可以参考大学教程《复变函数》。

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回到我们的拉格朗日点问题，我们知道，问题的关键是要找出$\vec{R}$与$\vec{r}$的关系。这里利用“复平面”的方法，把向量复数化（即每一个向量都表示一个复数），设k是一个复数，并且$\vec{R}=k\vec{r}$（注意这里的$\vec{r}$代表了一个复数而非向量，$k\vec{r}$就表达出了一个与$\vec{r}$有着固定夹角的向量），这样的依旧可以根据(19)列出形如(20)、(21)的方程，最终也得出了(22)，不同的是，这里的k是一个复数
$$(M+m)+m'(\frac{1-k}{|1-k|^3}+\frac{k}{|k|^3})=\frac{M+m'}{|k|^3}-m(\frac{1-k}{k|1-k|^3}-1/k)\tag{22}$$
实数方程解得不少，可是复数方程却鲜有解答。BoJone一时候也摸不着头脑，然而，我们注意到要是$|1-k|^3$和$|k|^3$均等于1，那么上述方程各项均可以抵消（也就是说得出一个通解）。从这个思路出发，设$k=a+bi$，那么就有 $|k|^2=a^2+b^2=1,|1-k|^2=(1-a)^2+b^2=1$，注意a,b均是实数，很容易就得到$a=1/2,b=+-\frac{\sqrt{3}}{2}$，也就是说$k=1/2+-\frac{\sqrt{3}}{2}i$是方程(22)的通解（与质量无关），这个通解的几何意义是：以地日连线为长度单位，以太阳为原点，这两点位于地日连线中心垂直向左或右$\frac{\sqrt{3}}{2}$单位处，这就是拉格朗日点的最后两个解（等边三角形解）！

到了这里，初次接触复数的读者可能依然会觉得，利用复数只不过利用了它的运算性质，但是它依旧不具有任何物理意义。有这样的想法的读者错了，从复数的角度来推导(22)式，每一步的物理意义都十分明确（要知道，除了k本身，每一步的运算结果都是一个实数，每个实数都代表了一个物理量，所谓复数，只是一个在数学与物理间“过渡的量”，效果如向量一般），只不过我们平时的计算中，一般都是采用平面直角坐标系来研究，而这里则是采用了复平面。这样的好处是我们只要研究一个变量，而不需要把向量正交分解。这就是用复数很方便地研究几何的原因。当然，不仅仅是几何，由复数发展而来的《复变函数》，在天文、力学、光学等领域，都已经成为了不可或缺的强大工具！

“见渺小之题目，必细察其纹理，故时有物外之趣！”这是BoJone的感触。

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