三次方程的根式求解（通俗版本）

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大家知道，1到4次的代数方程都有求根公式（尽管未必是最简单的方法），对于1次和2次方程的求根，大家可能滚瓜烂熟了。但是你了解三次方程的解法吗？
$$ax^3+bx^2+cx+d=0\,(a\neq0)$$

网上有不少关于这方面的资料，但是却有着两个缺点：一是缺乏描述专业数学公式的相关程序（很多网站都是这样）；二是语言过于专业，不能大众化（如维基百科）。

要了解三次方程的求根公式，首先要知道，一般地，n次代数方程有n个根。而对于最基本的三次方程$x^3+p=0$，我们有：
$$x_1=-\sqrt[3]{p}$$
同时根据韦达定理，我们有$x_1+x_2+x_3=0,x_1\cdot x_2\cdot x_3=-p$，我们已经知道$x_1=-\sqrt[3]{p}$，现在就变成了关于$x_2,x_3$的二次方程组，可以求解($i^2=-1$，虚数单位)：
$$x_2=-\frac{1}{2}(-1+\sqrt{3}i)\sqrt[3]{p}, \quad x_3=-\frac{1}{2}(-1-\sqrt{3}i)\sqrt[3]{p}$$
特别地，一般会将$\frac{1}{2}(-1+\sqrt{3}i)$写成$\omega$，于是
$$x_2=-\sqrt[3]{p} \omega,\quad x_3=-\sqrt[3]{p}\omega ^2$$

下面进入一般的三次方程的求解：

对于一道三次方程$ax^3+bx^2+cx+d=0\,(a\neq 0)$，我们有可以用换元法，设$y=x+\frac{b}{3a}$，将原方程变为关于y的三次方程：
$$y^3+py+q=0 \Leftrightarrow y^3+py=-q$$
其中
$$\begin{aligned}&y=x+\frac{b}{3a}\\
&p=\frac{c}{a}-\frac{b^2}{3a^2}\\
&q=\frac{2{b^3}}{27a^3}-\frac{bc}{3a^2}+\frac{d}{a}\end{aligned}$$

(卡丹的证明)由于$(A-B)^3+3AB(A-B)=A^{3}-B^{3}$，所以$3AB=p,A^{3}-B^{3}=-q,y=A-B$，于是变成关于$A,B$的六次方程组，而这一道六次方程组很简单，通过换元法，就变成了一道二次方程组，可以求解。最后我们得到的结果为：
$$\begin{aligned}&A=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}},
&B=\sqrt[3]{\frac{q}{2}+\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}}\end{aligned}$$

接下来就很容易得出原方程的解了。

最终，我们得出关于方程$y^3+px+q=0$的求根公式为
$$\begin{aligned}&x_1=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}\\
&x_2=\omega \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}+\omega^2\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}\\
&x_3=\omega^2\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}+\omega \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}\\
&\omega=\frac{1}{2}(-1+\sqrt{3}i)\end{aligned}$$

看到这里，如果想挑战自己的你，请写出$ax^3+bx^2+cx+d=0\,(a\neq 0)$的一般求根公式吧^_^

至于四次方程，有时间也会写一下。

参考资料：
http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E4%B8%89%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B&variant=zh-cn
http://baike.baidu.com/view/521598.htm
http://baike.baidu.com/view/1315076.htm
http://www.oursci.org/archive/magazine/200112/011208.htm

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