轻微的扰动——摄动法简介(2)
By 苏剑林 | 2013-02-06 | 37227位读者 |为了让大家更加熟悉摄动法的基本步骤,本文再讲一个用摄动法解代数方程的例子。这是从实际研究中出来的:
$$\begin{eqnarray*} x=\frac{k(1+k^2+k^4+l^2)}{2(1+k^2)^2} \\ k=\frac{dy}{dx}\end{eqnarray*} $$
这是一道微分方程。要求解这道方程,最好的方法当然是先从第一式解出$k=k(x)$的形式然后再积分。但是由于五次方程没有一般的显式解,所以迫使我们要考虑近似解。当然,一般来说熟悉mathematica的人都会直接数值计算了。我这里只考虑摄动法。
我们将原方程变为下面的形式:
$$x=\frac{k}{2}[1+\frac{l^2}{(1+k^2)^2}]$$
不难发现,当$l=0$时,原方程有一个简单的解$k=2x$,从这个解出发,我们寻找l很小时的近似。当然,由于原方程的复杂性,我只考虑一阶近似。设近似解为$k=2x+l^2 p$。代入原方程我们得到
$$x=\frac{2x+l^2 p}{2}[1+\frac{l^2}{(1+(2x+l^2 p)^2)^2}]$$
只考虑一阶的近似,就有:
$$x=\frac{2x+l^2 p}{2}[1+\frac{l^2}{(1+(2x)^2)^2}]$$
拆开就可以得到:
$$\frac{x l^2}{(1+4x^2)^2}+\frac{l^2 p}{2}=0$$
即
$$p=-\frac{2x}{(1+4x^2)^2}$$
即
$$k=2x-l^2\frac{2x}{(1+4x^2)^2}=\frac{dy}{dx}$$
积分得
$$y=x^2+\frac{l^2}{4(1+4x^2)}$$
这就是原微分方程的近似解。它在x=0处并没有发散,而且|x|越大近似越好,说明这个解形态还是挺优良的。当然,l需要相当地小。
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February 7th, 2013
被换元法秒杀……
$x(t)=\frac{1}{2} (-l^2 cos^3 t sin t-tan t)$
$y(t)=\frac{1}{4} [l^2 cos^2 t(-2+cos 2t)-tan^2 t]$
http://bbs.emath.ac.cn/redirect.php?tid=4893&goto=lastpost#lastpost
我已经看到了,想不到参数方程相当简洁...
October 6th, 2015
学长一开始x表达式,分子k^2前漏了2