为了让大家更加熟悉摄动法的基本步骤，本文再讲一个用摄动法解代数方程的例子。这是从实际研究中出来的：
$$\begin{eqnarray*} x=\frac{k(1+k^2+k^4+l^2)}{2(1+k^2)^2} \\ k=\frac{dy}{dx}\end{eqnarray*} $$

这是一道微分方程。要求解这道方程，最好的方法当然是先从第一式解出$k=k(x)$的形式然后再积分。但是由于五次方程没有一般的显式解，所以迫使我们要考虑近似解。当然，一般来说熟悉mathematica的人都会直接数值计算了。我这里只考虑摄动法。

我们将原方程变为下面的形式：
$$x=\frac{k}{2}[1+\frac{l^2}{(1+k^2)^2}]$$

不难发现，当$l=0$时，原方程有一个简单的解$k=2x$，从这个解出发，我们寻找l很小时的近似。当然，由于原方程的复杂性，我只考虑一阶近似。设近似解为$k=2x+l^2 p$。代入原方程我们得到
$$x=\frac{2x+l^2 p}{2}[1+\frac{l^2}{(1+(2x+l^2 p)^2)^2}]$$

只考虑一阶的近似，就有：
$$x=\frac{2x+l^2 p}{2}[1+\frac{l^2}{(1+(2x)^2)^2}]$$

拆开就可以得到：
$$\frac{x l^2}{(1+4x^2)^2}+\frac{l^2 p}{2}=0$$

即
$$p=-\frac{2x}{(1+4x^2)^2}$$

即
$$k=2x-l^2\frac{2x}{(1+4x^2)^2}=\frac{dy}{dx}$$

积分得
$$y=x^2+\frac{l^2}{4(1+4x^2)}$$

这就是原微分方程的近似解。它在x=0处并没有发散，而且|x|越大近似越好，说明这个解形态还是挺优良的。当然，l需要相当地小。

转载到请包括本文地址：https://kexue.fm/archives/1909

更详细的转载事宜请参考：《科学空间FAQ》

如果您还有什么疑惑或建议，欢迎在下方评论区继续讨论。

如果您觉得本文还不错，欢迎分享/打赏本文。打赏并非要从中获得收益，而是希望知道科学空间获得了多少读者的真心关注。当然，如果你无视它，也不会影响你的阅读。再次表示欢迎和感谢！

如果您需要引用本文，请参考：

苏剑林. (Feb. 06, 2013). 《轻微的扰动——摄动法简介(2) 》[Blog post]. Retrieved from https://kexue.fm/archives/1909

@online{kexuefm-1909,
        title={轻微的扰动——摄动法简介(2) },
        author={苏剑林},
        year={2013},
        month={Feb},
        url={\url{https://kexue.fm/archives/1909}},
}