WGAN,即Wasserstein GAN,算是GAN史上一个比较重要的理论突破结果,它将GAN中两个概率分布的度量从f散度改为了Wasserstein距离,从而使得WGAN的训练过程更加稳定,而且生成质量通常也更好。Wasserstein距离跟最优传输相关,属于Integral Probability Metric(IPM)的一种,这类概率度量通常有着更优良的理论性质,因此WGAN的出现也吸引了很多人从最优传输和IPMs的角度来理解和研究GAN模型。

然而,最近Arxiv上的论文《Wasserstein GANs Work Because They Fail (to Approximate the Wasserstein Distance)》则指出,尽管WGAN是从Wasserstein GAN推导出来的,但是现在成功的WGAN并没有很好地近似Wasserstein距离,相反如果我们对Wasserstein距离做更好的近似,效果反而会变差。事实上,笔者一直以来也有这个疑惑,即Wasserstein距离本身并没有体现出它能提升GAN效果的必然性,该论文的结论则肯定了该疑惑,所以GAN能成功的原因依然很迷~

基础与回顾 #

本文是对WGAN训练过程的探讨,并不算入门文章。关于初学GAN,欢迎参考《互怼的艺术:从零直达WGAN-GP》;而关于f散度与GAN之间的联系,可以参考《f-GAN简介:GAN模型的生产车间》《Designing GANs:又一个GAN生产车间》;至于WGAN的理论推导,可以参考《从Wasserstein距离、对偶理论到WGAN》;对于GAN的训练过程分析,还可以参考《从动力学角度看优化算法(四):GAN的第三个阶段》

一般来说,GAN对应着一个min-max过程:
\begin{equation}\min_G \max_D \mathcal{L}(D, G)\end{equation}
当然,一般来说判别器和生成器的损失函数可能不一样,但上述形式已经足够有代表性了。最原始的GAN一般称为vanilla GAN,其形式为
\begin{equation}\min_G \max_D \mathbb{E}_{x\sim p(x)}\left[\log D(x)\right] + \mathbb{E}_{z\sim q(z)}\left[\log (1 - D(G(z)))\right]\label{eq:v-gan}\end{equation}
可以参考《Towards Principled Methods for Training Generative Adversarial Networks》《令人拍案叫绝的Wasserstein GAN》或本博客GAN相关的文章证明,vanilla GAN实际上相对于在缩小两个分布之间的JS散度。而JS散度是f散度的一种,所有的f散度都具有一个问题,那就是在两个分布几乎没有交集的时候,散度为一个常数,这意味着梯度为零,而我们是使用梯度下降求解的,所以这意味着我们无法很好地完成优化。为此,WGAN应运而生,它利用Wasserstein距离来设计了新的GAN:
\begin{equation}\min_G \max_{\Vert D\Vert_{L}\leq 1} \mathbb{E}_{x\sim p(x)}\left[D(x)\right] - \mathbb{E}_{z\sim q(z)}\left[D(G(z))\right]\label{eq:w-gan}\end{equation}
跟之前的GAN的明显区别是,WGAN显式地给判别器$D$加上了L约束$\Vert D\Vert_{L}\leq 1$。由于Wasserstein距离几乎对任意两个分布(哪怕没有交集)都有比较良好的定义,因此WGAN理论上就解决了传统的基于f散度的GAN的梯度消失、训练不稳定等问题。

给判别器加上L约束主要有两个主要方案:一是谱归一化(Spectral Normalization,SN),可以参考《深度学习中的Lipschitz约束:泛化与生成模型》,现在很多GAN(不限于WGAN)为了稳定训练,都往判别器甚至生成器上都加入谱归一化了;二是梯度惩罚(Gradient Penalty,GP),其中有包括以1为中心的惩罚(WGAN-GP)和以0为中心的惩罚(WGAN-div)两种,可以参考《WGAN-div:一个默默无闻的WGAN填坑者》,目前的结果表明零中心惩罚具有比较好的理论性质和效果。

效果 ≠ 近似 #

事实上“WGAN并没有很好近似Wasserstein距离”这个现象也不是第一次被关注了,比如2019年就有论文《How Well Do WGANs Estimate the Wasserstein Metric?》系统地讨论过这一点。而本文要介绍的论文,则通过比较严谨地设置实验来确定WGAN效果的好坏与Wasserstein距离近似程度的联系。

首先,论文比较了梯度惩罚(GP)与一种称为$c\text{-transform}$的方法在实现WGAN时的效果。$c\text{-transform}$同样提出自论文《How Well Do WGANs Estimate the Wasserstein Metric?》,它相比梯度惩罚能更好地近似Wasserstein距离。下面两个图也表明了这一点:

静态测试时WGAN-GP、c-transforme与Wasserstein距离的近似程度

静态测试时WGAN-GP、c-transforme与Wasserstein距离的近似程度

训练过程中WGAN-GP、c-transforme与Wasserstein距离的近似程度

训练过程中WGAN-GP、c-transforme与Wasserstein距离的近似程度

然而,$c\text{-transform}$的生成效果,却并不如梯度惩罚:

WGAN-GP与c-transform的生成效果比较

WGAN-GP与c-transform的生成效果比较

当然,原论文选这个图真是让人哭笑不得,事实上WGAN-GP的效果可以比上面右图好得多。于是,我们可以暂时下结论:

1、效果好的WGAN在训练过程中并没有很好地近似Wasserstein距离;

2、更好地近似Wasserstein距离究竟对提升生成效果并没有帮助。

理论 ≠ 实验 #

现在就让我们来思考一下问题出在哪。我们知道,不管是原始GAN$\eqref{eq:v-gan}$还是WGAN$\eqref{eq:w-gan}$又或者其他GAN,在实验的时候,都有两个共同特点:

1、$\min$和$\max$是交替训练的;

2、每次都只是随机选一个batch来训练。

这两点有什么问题呢?

第一,其实几乎所有的GAN都会写成$\min\limits_G \max\limits_D$,这是因为理论上来说,需要先精确完成$\max\limits_D$,然后再去$\min\limits_G$,才是在优化GAN对应的概率度量,如果只是交替优化,那么理论上就不可能很精确地逼近概率度量。哪怕WGAN因为用了Wasserstein距离不怕消失,所以交替训练时通常会多训练几步$D$(或者$D$用更大的学习率),但依旧不可能精确逼近Wasserstein距离,这是差距来源之一。

第二,随机采样一个batch来训练,而不是全量训练样本,这导致的一个结果是“训练集里边随机选两个batch的Wasserstein距离,还大于训练集的batch与其平均样本之间的Wasserstein距离”,如下图所示:

左:真实样本batch,中:平均样本,右:样本聚类中心。看Wasserstein距离的话,真实样本还不如后面两个模糊样本

左:真实样本batch,中:平均样本,右:样本聚类中心。看Wasserstein距离的话,真实样本还不如后面两个模糊样本

这就说明了,基于batch训练的情况下,如果你希望得到更真实的样本,那么必然不是在优化Wasserstein距离,如果你在很精确地优化Wasserstein距离,那么就得不到更真实的样本,因为模糊的平均样本的Wasserstein距离还更小。

数学 ≠ 视觉 #

从数学上来看,Wasserstein距离的性质确实是非常漂亮的,某种意义上来说它是度量任意两个分布之间差距的最佳方案。但是数学归数学,Wasserstein距离最“致命”的地方在于它是依赖于具体的度量的:
\begin{equation}\mathcal{W}[p,q]=\inf_{\gamma\in \Pi[p,q]} \iint \gamma(x,y) d(x,y) dxdy\end{equation}
也就是说,我们需要给定一个能度量两个样本差距的函数$d(x,y)$。然而,对于很多场景,比如两张图片,度量函数的设计本身就是难中之难。WGAN直接使用了欧氏距离$d(x,y)=\Vert x - y\Vert_2$,尽管在数学上是合理的,但在视觉效果上却是不合理的,我们肉眼认为的两张更相似的图片,它的欧氏距离未必更小。所以如果很精确地去近似Wasserstein距离,反而会带来视觉效果上的变差。原论文也做了实验,通过$c\text{-transform}$对Wasserstein距离做更好的近似,那么模型的生成效果其实跟K-Means聚类中心是类似的,而K-Means也正是使用了欧式距离作为度量:

c-transform效果与K-Means的相似性

c-transform效果与K-Means的相似性

所以,现在WGAN成功的原因就很迷了:WGAN是基于Wasserstein距离推导出来的,然后在实现上却跟Wasserstein距离有点差距,而这个差距很可能才是WGAN成功的关键。原论文认为WGAN的最关键之处是引入了L约束,往任意一个GAN变种里边引入L约束(谱归一化或梯度惩罚),多多少少都能使得效果和稳定性有点提升,因此L约束才是提升的要点,而并不是想象中的Wasserstein距离。

但这更多的只是一个结论,还不是理论上的分析。看来对GAN的深入理解,还是任重而道远啊~

简单的总结 #

本文主要分享了最近的一篇论文,里边指出对Wasserstein距离的近似与否,跟WGAN的效果好坏并没有必然联系,如何更好地理解GAN的理论与实践,依然是一种艰难的任务~

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苏剑林. (Mar. 15, 2021). 《WGAN的成功,可能跟Wasserstein距离没啥关系 》[Blog post]. Retrieved from https://kexue.fm/archives/8244