向量有两个乘法：点乘和叉乘，其结果又分别叫做数量积和向量积。在很多情况下，用这两个定义的乘法运算都能够给我们带来很大的方便（其实它就是在实际问题中抽象出来的）。不过，也有相当一部分的二维问题用复数来描述更为简洁。于是，为了整合两者的巧妙之处，有必要把向量的两个乘法运算“退化”到复数中去（为什么用“退化”？因为向量是多维的，可以是3维、4维等，而复数运算只是二维的，很明显这是一种“退化”而不是“拓展”^_^）

运算法则：

点乘：
总法则：$Z_1 \cdot Z_2=|Z_1||Z_2|\cos(arg\frac{Z_2}{Z_1})$
$$\begin{aligned}1\cdot i=0 \\ i\cdot i=1 \\ \exp(i\theta)\cdot \exp(i\varphi)=\cos(\varphi -\theta) \\ iexp(i\theta)\cdot \exp(i\varphi)=-\sin(\theta-\varphi ) \\ Z_1 \cdot Z_2=Z_1 \bar{Z}_2+Z_2 \bar{Z}_1\end{aligned}$$

叉乘：
由于二维向量的叉积都指向第三维，所以可以认为复数的叉积结果都是一个数。
总法则：$Z_1 \times Z_2=|Z_1| |Z_2| sin(arg\frac{Z_2}{Z_1})$
$$\begin{aligned}1\times i=1 \\ i\times i=0 \\ \exp(i\theta) \times \exp(i\varphi)=\sin(\varphi-\theta ) \\ iexp(i\theta) \times \exp(i\varphi)=-\cos(\theta-\varphi ) \\ Z_1 \times Z_2=(Z_1 \bar{Z}_2-Z_2 \bar{Z}_1)i\end{aligned}$$

变换关系：
$$\begin{aligned}Z_1 \times Z_2=-Z_2 \times Z_1 \\ Z_1 \times (i Z_2)=Z_1\cdot Z_2 \\ Z_1 \cdot (i Z_2)=-Z_1 \times Z_2\end{aligned}$$

微分恒等关系：
$$Z\cdot dZ=|Z| d|Z|$$
$Z*(i dZ)=-(iZ)*dZ=+-|Z|\sqrt{dZ*dZ-(d|Z|)^2}$（正负待定）

于是，复数便有了三种乘法了。它们代表的意义都不一样！复数原来的乘法是一种旋转和伸长，而点积和叉积分别是有关两个复数的夹角的余弦和正弦。

这是用复数研究三体问题周期轨道时所悟到的思想，特此记录！

转载到请包括本文地址：https://kexue.fm/archives/1188

更详细的转载事宜请参考：《科学空间FAQ》

如果您还有什么疑惑或建议，欢迎在下方评论区继续讨论。

如果您觉得本文还不错，欢迎分享/打赏本文。打赏并非要从中获得收益，而是希望知道科学空间获得了多少读者的真心关注。当然，如果你无视它，也不会影响你的阅读。再次表示欢迎和感谢！

如果您需要引用本文，请参考：

苏剑林. (Feb. 04, 2011). 《[更新]将向量乘法“退化”到复数 》[Blog post]. Retrieved from https://kexue.fm/archives/1188

@online{kexuefm-1188,
        title={[更新]将向量乘法“退化”到复数},
        author={苏剑林},
        year={2011},
        month={Feb},
        url={\url{https://kexue.fm/archives/1188}},
}