【外微分浅谈】1. 绪论与启发

写在前面 #

在《理解黎曼几何》系列，笔者分享了一些黎曼几何的“几何”心得，同时遗留了一个问题：怎么真正地去算黎曼张量？MTW的《引力论》中提到了一种基于外微分的方法，可是我不熟悉外微分，遂学习了一番。确实，是《引力论》中快捷计算曲率张量的步骤让笔者决定深入了解外微分的。果然，可观的效益是第一推动力。

这系列文章主要分享一些外微分的学习心得，曾经过多次修改和完善，包含的内容很多，比如外积、活动标架、外微分及其在黎曼几何的一些应用等，最后包括一种计算曲率的有效方式。

符号说明：在本系列中，用粗体的字母表示向量、矩阵以及基底，用普通字母来表示标量，它有可能是一个标量函数，也有可能是向量的分量，如无说明，则用$n$表示空间（流形）的维度。本文中同样使用了爱因斯坦求和法则，即相同的上下指标表示$1\sim n$遍历求和，即$\alpha_{\mu}\beta^{\mu}=\sum_{\mu=1}^{n} \alpha_{\mu}\beta^{\mu}$，习惯上将下标写在前面，比如$\alpha_{\mu}\beta^{\mu}$事实上跟$\beta^{\mu}\alpha_{\mu}$等价，但习惯写成前者。常用的一些记号是：$\mu,\nu$表示分量指标，$x^{\mu}$表示点的坐标分量，$dx^{\mu}$表示切向量（微元）的分量，$\alpha,\beta,\omega$等希腊字母也常用来表示微分形式。符号的使用有重复的地方，但符号的意义基本都在符号出现的附近有说明，因此应该不至于混淆。

最后，就是笔者其实对外微分还不是特别有感觉，因此文章中可能出现谬误之处，请读者见谅并指出。本系列命名为“外微分浅谈”，不是谦虚，确实是很浅，认识得浅，说的也很浅～

向量的启发 #

从我们高中时学习了向量这一概念开始，向量就包含着两种运算方法，一种是建立坐标系，然后用坐标来运算，另外一种是直接用向量的法则运算。为了应付高考中的立体几何，学生们联系得比较多的是建立坐标系来运算，也就是分量语言。但事实上分量语言有时候妨碍了我们对向量作为“客观实体”的认识，而且分量语言并不一定都很简单。比如，考虑下面简单的题目：

设$\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}$是两个模长相等的向量，证明$\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}$垂直于$\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}$。

这道题目标准的答案应该是$(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B})\cdot (\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}) = \boldsymbol{A}^2 - \boldsymbol{B}^2 = 0$，所以得到$\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}$垂直于$\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}$。相信没有人愿意建立坐标系，然后给出每个分量后再运算。而且，这个结论是对任意维空间都成立的，而一旦建立了坐标系，事实上意味着就固定了空间的维数，将一般的结论特殊化了。也就是说，这里存在一种纯粹向量的形式语言，对描述和运算“客观实体”的向量有着独特的优势。

注：本文和《理解黎曼几何》系列的向量，用张量的语言来看，都是逆变向量。事实上，我认为协变和逆变的概念是没有必要的，真正的向量都是逆变的，而所谓协变向量只是纯粹定义出来的。从几何的角度来看，没有逆变和协变的概念，照样可以顺利完成所需要做的事情，我们不需要知道一个量是协变还是逆变的，只需要判断它是不是几何量就可以了。这样的做法可能在推导某些代数式子时会比较艰难，但在理解上更为深刻。

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