19 Jun

向量结合复数：常曲率曲线(1)

By 苏剑林 | 2011-06-19 | 31867位读者 |

在之前的一篇向量系列的文章中，我们通过结合物理与向量来巧妙地推导出了曲线（包括平面和空间的）的曲率半径为
$R=\frac{v^2}{a_c}=\frac{|\dot{\vec{r}}|^3}{|\dot{\vec{r}}\times \ddot{\vec{r}}|}\tag{1}$
曲率则是曲率半径的导数： $\rho=\frac{1}{R}$ 。我们反过来思考一下：曲率恒定的平面曲线是否只有圆？

答案貌似是很显然的，我们需要证明一下。

由于只是考虑平面情况，我们先设 $\dot{\vec{r}}=(v cos\theta,v sin\theta)=z=ve^{i\theta}$ ，代入(1)得到
$\frac{\dot{\theta}}{v}=\rho$ ————(2)

注意，这里我们用到了导数符号 $\dot{\theta}$ ，但依旧还没有说明是对哪个变量求导的。我们发现要是 $\dot{\theta}=\frac{d\theta}{dv}$ 的话，(2)是很容易求解的。于是我们就约定，函数上面的一点表示对变量v求导。这是一种“事后决定法”，因为这里求导的变量是随意的，适当的选择让我们更方便地求解。

这样，(2)的通解为： $\theta=1/2 \rho v^2+C_1\tag{2}$
继续换回x,y变量，我们有： $\frac{dz}{dv}=ve^{i\theta}=ve^{i(1/2 \rho v^2+C_1)}\tag{3}$
那么
$\begin{aligned}z=\int ve^{i\theta}=ve^{i(1/2 \rho v^2+C_1)}dv \\ =\frac{1}{\rho} e^{i(1/2 \rho v^2+C_1)}d(1/2 \rho v^2+C_1)=\frac{1}{\rho} e^{i(1/2 \rho v^2+C_1)}+C_2\end{aligned}\tag{4}$
选取进行适当的平移使得 $C_2=0$ 。有
$z=\frac{1}{\rho} e^{i(1/2 \rho v^2+C_1)}\tag{5}$
不难检验 $|z|=\frac{1}{\rho}$ 。因此，这是一个圆。

注意这里的“复数”充当了一个“形式上”的作用，它是一个把正交的坐标运算结合为一个整体来运算的工具，而不是一个单纯的数。下一篇文章我们来探讨一下空间曲线和平面的类似问题。

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分类：数学研究标签：向量, 曲率, 复数 2 评论

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发表你的看法

zzm

June 20th, 2011

你是否想过任意的整度数的三角函数都可以表示成根式？比如sin10度。我今天发现可以，原来都以为不能。

回复评论

苏剑林发表于 June 25th, 2011

这个我知道呀。我记得我在小学五年级接触到了三角函数，当时第一想法是如何根据角度来求三角函数值，可是书本上只是教我查表...后来到了初中，我曾经求出只用加减乘除和开平方表达出来的sin3°，根据我这个结果，sin1°显然是能够用加减乘除和开平方以及开立方表达出来的。

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