在之前的一篇向量系列的文章中，我们通过结合物理与向量来巧妙地推导出了曲线（包括平面和空间的）的曲率半径为
$$R=\frac{v^2}{a_c}=\frac{|\dot{\vec{r}}|^3}{|\dot{\vec{r}}\times \ddot{\vec{r}}|}\tag{1}$$
曲率则是曲率半径的导数：$\rho=\frac{1}{R}$。我们反过来思考一下：曲率恒定的平面曲线是否只有圆？

答案貌似是很显然的，我们需要证明一下。

由于只是考虑平面情况，我们先设$\dot{\vec{r}}=(v cos\theta,v sin\theta)=z=ve^{i\theta}$，代入(1)得到
$\frac{\dot{\theta}}{v}=\rho$————(2)

注意，这里我们用到了导数符号$\dot{\theta}$，但依旧还没有说明是对哪个变量求导的。我们发现要是$\dot{\theta}=\frac{d\theta}{dv}$的话，(2)是很容易求解的。于是我们就约定，函数上面的一点表示对变量v求导。这是一种“事后决定法”，因为这里求导的变量是随意的，适当的选择让我们更方便地求解。

这样，(2)的通解为：$$\theta=1/2 \rho v^2+C_1\tag{2}$$
继续换回x,y变量，我们有：$$\frac{dz}{dv}=ve^{i\theta}=ve^{i(1/2 \rho v^2+C_1)}\tag{3}$$
那么
$$\begin{aligned}z=\int ve^{i\theta}=ve^{i(1/2 \rho v^2+C_1)}dv \\ =\frac{1}{\rho} e^{i(1/2 \rho v^2+C_1)}d(1/2 \rho v^2+C_1)=\frac{1}{\rho} e^{i(1/2 \rho v^2+C_1)}+C_2\end{aligned}\tag{4}$$
选取进行适当的平移使得$C_2=0$。有
$$z=\frac{1}{\rho} e^{i(1/2 \rho v^2+C_1)}\tag{5}$$
不难检验$|z|=\frac{1}{\rho}$。因此，这是一个圆。

注意这里的“复数”充当了一个“形式上”的作用，它是一个把正交的坐标运算结合为一个整体来运算的工具，而不是一个单纯的数。下一篇文章我们来探讨一下空间曲线和平面的类似问题。

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苏剑林. (Jun. 19, 2011). 《向量结合复数：常曲率曲线(1) 》[Blog post]. Retrieved from https://kexue.fm/archives/1381

@online{kexuefm-1381,
        title={向量结合复数：常曲率曲线(1)},
        author={苏剑林},
        year={2011},
        month={Jun},
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