方轮自行车.jpg你见过正方形轮子的自行车吗?一般认为,只有圆形的车轮才能使我们的车子平稳向前移动,但这只是针对平直道路而言的。谁规定路一定是平的?只要铺好一条适当的道路,正方形车轮的自行车照样可以平稳前行!本文就让我们为方轮自行车铺一条路。

其实,方轮自行车已经不是新鲜玩意了,它早已出现在不少科技馆中。从图片中可以看到,它的特殊轨道是有许多段弧组成的,每一段弧的长度等于正方形的边长。车轮前行时,正方形会保持与弧形相切(确保不会打滑)。这样的路的形状是什么曲线呢?很幸运,它并不十分复杂,而且让人意外的是,它就是我们之前已经研究过的“悬链线”!原来,要设计这样的一个曲线的轨道,不需要多么高深的设计师,只需要我们手拿一条铁链,让它自由垂下......

方轮自行车分析1.PNG

如图,这是方轮的两个特殊位置,设正方形的边长为2,由图不难得知,如果以x轴为地面的话,轮轴(R)与地面的距离为$\sqrt{2}$,中间的顶点与地面的距离为$\sqrt{2}-1$。

将各个点标记如下图
方轮自行车分析2.PNG

$y=y(x)$为轨道方程,其中$I(x,y)$是正方形车轮与“道路”的一个切点,根据道路与车轮的关系,线段AI的长度要等于弧KI的长,记该长为s,用微积分的符号表示为

$s=\int_{x_0}^x \sqrt{dx^2+dy^2}=\int_{x_0}^x \sqrt{1+\dot{y}^2}dx$
($x_0$是左端的一个零点)

同时,我们有以下关系:

$AI=s,MI=1-s,RM=1$
$RM cos\theta+MI sin\theta+y=OP$

即$cos\theta+(1-s)sin\theta+y=\sqrt{2}$

从中解出s,并把$tan\theta=\dot{y}$代入,得到

$s=1+\dot{y}^{-1}+y\sqrt{1+\dot{y}^{-2}}-\sqrt{2}*\sqrt{1+\dot{y}^{-2}}$

将两个s用等号联系起来,得到积分方程

$\int_{x_0}^x \sqrt{1+\dot{y}^2}dx=1+\dot{y}^{-1}+y\sqrt{1+\dot{y}^{-2}}-\sqrt{2}*\sqrt{1+\dot{y}^{-2}}$

为了将其变成常见的微分方程,将两端取导数

等号左边取导数后变成
$\sqrt{1+\dot{y}^2}$

等号右边取导数后变成
$-\dot{y}^{-2}\ddot{y}+(y-\sqrt{2})*\frac{-\dot{y}^{-2}\ddot{y}}{\sqrt{1+\dot{y}^2}}+\sqrt{1+\dot{y}^2}$

对消后变成:
$\sqrt{2}-y=\sqrt{1+\dot{y}^2}$

可以化为:$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\sqrt{(\sqrt{2}-y)^2-1}}$


$-x=\int \frac{1}{\sqrt{(\sqrt{2}-y)^2-1}} d(\sqrt{2}-y)$
$=arccosh(\sqrt{2}-y)+C$

改写成
$y=-cosh(-C-x)+\sqrt{2}=-cosh(C+x)+\sqrt{2}$
($cosh x$是双曲余弦函数,$cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$)

根据初始条件,可以得出C=0,于是最终的轨道方程为
$y=-coshx+\sqrt{2}$
(取x轴上方的部分)

这是一条悬链线。神奇的悬链线!

解答完这个问题后,读者很自然地会有延伸出一个问题:对于任意正n边形的车轮,满足平稳前行的道路形状又该是怎样的呢?
正六边形的车轮.PNG

答案让人很惊喜,即并没有变得很繁,它依旧只是一条悬链线!如图,设正n边形的边长为2a,高为h,那么最终的答案将是:

$y=-h cosh(\frac{x}{h})+\sqrt{a^2+h^2}$

如果以h=1为单位长度,根据$a=h*tan(\frac{\pi}{n})$,得到:

$y=-cosh x+\sqrt{1+tan^2(\frac{\pi}{n})}$

这只不过是正方形车轮的轨道向下平移了一点而已!

当n趋向无穷时,正n边形就变成了一个圆了,常识告诉我们,这时的路面应该是一条直线;可是此时路面方程变成了$y=-cosh x+1$,读者可能会疑惑为什么不是一条直线呢?有这样疑问的读者别忘了,我们已经说过轨道方程只取x轴上方的部分(y≥0),然后水平拼接而成的。对于这条轨道方程只有(0,0)这一个点满足y≥0的,取这样的点无限拼接起来,就成了一条直线了!

至此,我们为方轮自行车的铺路之旅完毕!这个结果让我再次惊叹大自然的神秘。那在重力场自然垂下的一条铁链的形状,竟然为方轮自行车铺好了道路。冥冥中似乎总有一种神秘的力量,将各个看似毫不相关的东西联系了起来,这也许就是数学最令人激动人心的地方。


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