为方轮自行车铺路
By 苏剑林 | 2012-06-24 | 58565位读者 |你见过正方形轮子的自行车吗?一般认为,只有圆形的车轮才能使我们的车子平稳向前移动,但这只是针对平直道路而言的。谁规定路一定是平的?只要铺好一条适当的道路,正方形车轮的自行车照样可以平稳前行!本文就让我们为方轮自行车铺一条路。
其实,方轮自行车已经不是新鲜玩意了,它早已出现在不少科技馆中。从图片中可以看到,它的特殊轨道是有许多段弧组成的,每一段弧的长度等于正方形的边长。车轮前行时,正方形会保持与弧形相切(确保不会打滑)。这样的路的形状是什么曲线呢?很幸运,它并不十分复杂,而且让人意外的是,它就是我们之前已经研究过的“悬链线”!原来,要设计这样的一个曲线的轨道,不需要多么高深的设计师,只需要我们手拿一条铁链,让它自由垂下......
如图,这是方轮的两个特殊位置,设正方形的边长为2,由图不难得知,如果以x轴为地面的话,轮轴(R)与地面的距离为$\sqrt{2}$,中间的顶点与地面的距离为$\sqrt{2}-1$。
将各个点标记如下图
$y=y(x)$为轨道方程,其中$I(x,y)$是正方形车轮与“道路”的一个切点,根据道路与车轮的关系,线段AI的长度要等于弧KI的长,记该长为s,用微积分的符号表示为
$$s=\int_{x_0}^x \sqrt{dx^2+dy^2}=\int_{x_0}^x \sqrt{1+\dot{y}^2}dx$$
($x_0$是左端的一个零点)
同时,我们有以下关系:
$$\begin{aligned}AI=s,MI=1-s,RM=1 \\ RM \cos\theta+MI \sin\theta+y=OP\end{aligned}$$
即$cos\theta+(1-s)sin\theta+y=\sqrt{2}$
从中解出s,并把$tan\theta=\dot{y}$代入,得到
$$s=1+\dot{y}^{-1}+y\sqrt{1+\dot{y}^{-2}}-\sqrt{2}\cdot \sqrt{1+\dot{y}^{-2}}$$
将两个s用等号联系起来,得到积分方程
$$\int_{x_0}^x \sqrt{1+\dot{y}^2}dx=1+\dot{y}^{-1}+y\sqrt{1+\dot{y}^{-2}}-\sqrt{2}\cdot \sqrt{1+\dot{y}^{-2}}$$
为了将其变成常见的微分方程,将两端取导数
等号左边取导数后变成
$$\sqrt{1+\dot{y}^2}$$
等号右边取导数后变成
$$-\dot{y}^{-2}\ddot{y}+(y-\sqrt{2})\cdot \frac{-\dot{y}^{-2}\ddot{y}}{\sqrt{1+\dot{y}^2}}+\sqrt{1+\dot{y}^2}$$
对消后变成:
$$\sqrt{2}-y=\sqrt{1+\dot{y}^2}$$
可以化为:$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\sqrt{(\sqrt{2}-y)^2-1}}$
即
$$\begin{aligned}-x=\int \frac{1}{\sqrt{(\sqrt{2}-y)^2-1}} d(\sqrt{2}-y) \\ =arccosh(\sqrt{2}-y)+C\end{aligned}$$
改写成
$$y=-\cos h(-C-x)+\sqrt{2}=-\cos h(C+x)+\sqrt{2}$$
($cosh x$是双曲余弦函数,$cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$)
根据初始条件,可以得出C=0,于是最终的轨道方程为
$$y=-\cos hx+\sqrt{2}$$
(取x轴上方的部分)
这是一条悬链线。神奇的悬链线!
解答完这个问题后,读者很自然地会有延伸出一个问题:对于任意正n边形的车轮,满足平稳前行的道路形状又该是怎样的呢?
答案让人很惊喜,即并没有变得很繁,它依旧只是一条悬链线!如图,设正n边形的边长为2a,高为h,那么最终的答案将是:
$$y=-h \cos h(\frac{x}{h})+\sqrt{a^2+h^2}$$
如果以h=1为单位长度,根据$a=h*tan(\frac{\pi}{n})$,得到:
$$y=-\cos h x+\sqrt{1+\tan^2(\frac{\pi}{n})}$$
这只不过是正方形车轮的轨道向下平移了一点而已!
当n趋向无穷时,正n边形就变成了一个圆了,常识告诉我们,这时的路面应该是一条直线;可是此时路面方程变成了$y=-cosh x+1$,读者可能会疑惑为什么不是一条直线呢?有这样疑问的读者别忘了,我们已经说过轨道方程只取x轴上方的部分(y≥0),然后水平拼接而成的。对于这条轨道方程只有(0,0)这一个点满足y≥0的,取这样的点无限拼接起来,就成了一条直线了!
至此,我们为方轮自行车的铺路之旅完毕!这个结果让我再次惊叹大自然的神秘。那在重力场自然垂下的一条铁链的形状,竟然为方轮自行车铺好了道路。冥冥中似乎总有一种神秘的力量,将各个看似毫不相关的东西联系了起来,这也许就是数学最令人激动人心的地方。
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July 5th, 2012
我觉得应该在不改变目前路面是平的前提下实现方形轮子的平稳转动问题。
那我觉得是不可能的,至少在目前车轮的安装情况下(固定在几何中心)是不可能的。
July 6th, 2012
先别急着否定,我觉得有可能,只是方形的要想滚动的平稳,解决起来可能更麻烦些。
不能固定在几何中心,变动轴等边距怎么样?+力学引导?估计可以实现,不能向常态化的事物低头。
呵呵,那就有点像“自适应”系统了。尤其是加了特殊的引导装置之后,总能够想到办法实现的。但我想这已经是属于实际设计的问题的,不再是数学物理计算里边的了。
January 11th, 2015
莱洛三角形,在一定程度上是可以的。
长见识了~