科学空间|Scientific Spaces

众所周知，现在的Transformer越做越大，但这个“大”通常是“宽”而不是“深”，像GPT-3虽然参数有上千亿，但也只是一个96层的Transformer模型，与我们能想象的深度相差甚远。是什么限制了Transformer往“深”发展呢？可能有的读者认为是算力，但“宽而浅”的模型所需的算力不会比“窄而深”的模型少多少，所以算力并非主要限制，归根结底还是Transformer固有的训练困难。一般的观点是，深模型的训练困难源于梯度消失或者梯度爆炸，然而实践显示，哪怕通过各种手段改良了梯度，深模型依然不容易训练。

近来的一些工作（如Admin）指出，深模型训练的根本困难在于“增量爆炸”，即模型越深对输出的扰动就越大。上周的论文《DeepNet: Scaling Transformers to 1,000 Layers》则沿着这个思路进行尺度分析，根据分析结果调整了模型的归一化和初始化方案，最终成功训练出了1000层的Transformer模型。整个分析过程颇有参考价值，我们不妨来学习一下。

增量爆炸

原论文的完整分析比较长，而且有些假设或者描述细酌之下是不够合理的。所以在本文的分享中，笔者会尽量修正这些问题，试图以一个更合理的方式来得到类似结果。

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高效Transformer，泛指所有概率Transformer效率的工作，笔者算是关注得比较早了，最早的博客可以追溯到2019年的《为节约而生：从标准Attention到稀疏Attention》，当时做这块的工作很少。后来，这类工作逐渐多了，笔者也跟进了一些，比如线性Attention、Performer、Nyströmformer，甚至自己也做了一些探索，比如之前的“Transformer升级之路”。再后来，相关工作越来越多，但大多都很无趣，所以笔者就没怎么关注了。

本文模型脉络图

大抵是“久旱逢甘霖”的感觉，最近终于出现了一个比较有意思的高效Transformer工作——来自Google的《Transformer Quality in Linear Time》，经过细读之后，笔者认为论文里边真算得上是“惊喜满满”了～

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当前Transformer架构用的最多的注意力机制，全称为“Scaled Dot-Product Attention”，其中“Scaled”是因为在$Q,K$转置相乘之后还要除以一个$\sqrt{d}$再做Softmax（下面均不失一般性地假设$Q,K,V\in\mathbb{R}^{n\times d}$）：
\begin{equation}Attention(Q,K,V) = softmax\left(\frac{QK^{\top}}{\sqrt{d}}\right)V\label{eq:std}\end{equation}

在《浅谈Transformer的初始化、参数化与标准化》中，我们已经初步解释了除以$\sqrt{d}$的缘由。而在这篇文章中，笔者将从“熵不变性”的角度来理解这个缩放操作，并且得到一个新的缩放因子。在MLM的实验显示，新的缩放因子具有更好的长度外推性能。

熵不变性

我们将一般的Scaled Dot-Product Attention改写成
\begin{equation}\boldsymbol{o}_i = \sum_{j=1}^n a_{i,j}\boldsymbol{v}_j,\quad a_{i,j}=\frac{e^{\lambda \boldsymbol{q}_i\cdot \boldsymbol{k}_j}}{\sum\limits_{j=1}^n e^{\lambda \boldsymbol{q}_i\cdot \boldsymbol{k}_j}}\end{equation}
其中$\lambda$是缩放因子，它跟$\boldsymbol{q}_i,\boldsymbol{k}_j$无关，但原则上可以跟长度$n$、维度$d$等参数有关，目前主流的就是$\lambda=1/\sqrt{d}$。

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前几天在训练一个新的Transformer模型的时候，发现怎么训都不收敛了。经过一番debug，发现是在做Self Attention的时候$\boldsymbol{Q}\boldsymbol{K}^{\top}$之后忘记除以$\sqrt{d}$了，于是重新温习了一下为什么除以$\sqrt{d}$如此重要的原因。当然，Google的T5确实是没有除以$\sqrt{d}$的，但它依然能够正常收敛，那是因为它在初始化策略上做了些调整，所以这个事情还跟初始化有关。

藉着这个机会，本文跟大家一起梳理一下模型的初始化、参数化和标准化等内容，相关讨论将主要以Transformer为心中展开。

采样分布

初始化自然是随机采样的的，所以这里先介绍一下常用的采样分布。一般情况下，我们都是从指定均值和方差的随机分布中进行采样来初始化。其中常用的随机分布有三个：正态分布（Normal）、均匀分布（Uniform）和截尾正态分布（Truncated Normal）。

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在本博客中，我们已经多次讨论过线性Attention的相关内容。介绍线性Attention的逻辑大体上都是：标准Attention具有$\mathscr{O}(n^2)$的平方复杂度，是其主要的“硬伤”之一，于是我们$\mathscr{O}(n)$复杂度的改进模型，也就是线性Attention。有些读者看到线性Attention的介绍后，就一直很期待我们发布基于线性Attention的预训练模型，以缓解他们被BERT的算力消耗所折腾的“死去活来”之苦。

然而，本文要说的是：抱有这种念头的读者可能要失望了，标准Attention到线性Attention的转换应该远远达不到你的预期，而BERT那么慢的原因也并不是因为标准Attention的平方复杂度。

BERT之反思

按照直观理解，平方复杂度换成线性复杂度不应该要“突飞猛进”才对嘛？怎么反而“远远达不到预期”？出现这个疑惑的主要原因，是我们一直以来都没有仔细评估一下常规的Transformer模型（如BERT）的整体计算量。

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在《Performer：用随机投影将Attention的复杂度线性化》中我们了解到Google提出的Performer模型，它提出了一种随机投影方案，可以将标准Attention转化为线性Attention，并保持一定的近似。理论上来说，只要投影的维度足够大，那么可以足够近似标准Attention。换句话说，标准Attention可以视作一个无限维的线性Attention。

本文将介绍笔者构思的另外两种将标准Attention转换为无限维线性Attention的思路，不同于Performer的随机投影，笔者构思的这两种方案都是确定性的，并且能比较方便地感知近似程度。

简要介绍

关于标准Attention和线性Attention，这里就不多做介绍了，还不了解的读者可以参考笔者之前的文章《线性Attention的探索：Attention必须有个Softmax吗？》和《Transformer升级之路：3、从Performer到线性Attention》。简单来说，标准Attention的计算方式为
\begin{equation}a_{i,j}=\frac{e^{\boldsymbol{q}_i\cdot \boldsymbol{k}_j}}{\sum\limits_j e^{\boldsymbol{q}_i\cdot \boldsymbol{k}_j}}\end{equation}

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大家都知道，Transformer的$\mathscr{O}(n^2)$复杂度是它的“硬伤”之一。不过凡事有弊亦有利，$\mathscr{O}(n^2)$的复杂度也为Transformer带来很大的折腾空间，我们可以灵活地定制不同的attention mask，来设计出不同用途的Transformer模型来，比如UniLM、K-BERT等。

本文介绍笔者构思的一个能用于文本的UniVAE模型，它沿用类似UniLM的思路，将VAE做到了一个Transformer模型里边，并且还具备多尺度特性～

UniAE式Attention关联示意图

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看了标题，可能读者会有疑惑，大家不都想着将大模型缩小吗？怎么你想着将小模型放大了？其实背景是这样的：通常来说更大的模型加更多的数据确实能起得更好的效果，然而算力有限的情况下，从零预训练一个大的模型时间成本太大了，如果还要调试几次参数，那么可能几个月就过去了。

这时候“穷人思维”就冒出来了（土豪可以无视）：能否先训练一个同样层数的小模型，然后放大后继续训练？这样一来，预训练后的小模型权重经过放大后，就是大模型一个起点很高的初始化权重，那么大模型阶段的训练步数就可以减少了，从而缩短整体的训练时间。

那么，小模型可以无损地放大为一个大模型吗？本文就来从理论上分析这个问题。

含义

有的读者可能想到：这肯定可以呀，大模型的拟合能力肯定大于小模型呀。的确，从拟合能力角度来看，这件事肯定是可以办到的，但这还不是本文关心的“无损放大”的全部。

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