科学空间|Scientific Spaces

众所周知，分类模型通常都是先得到编码向量，然后接一个Dense层预测每个类别的概率，而预测时则是输出概率最大的类别。但大家是否想过这样一种可能：训练好的分类模型可能存在“无法预测的类别”，即不管输入是什么，都不可能预测出某个类别$k$，类别$k$永远不可能成为概率最大的那个。

当然，这种情况一般只出现在类别数远远超过编码向量维度的场景，常规的分类问题很少这么极端的。然而，我们知道语言模型本质上也是一个分类模型，它的类别数也就是词表的总大小，往往是远超过向量维度的，那么我们的语言模型是否有“无法预测的词”？（只考虑Greedy解码）

是否存在

ACL2022的论文《Low-Rank Softmax Can Have Unargmaxable Classes in Theory but Rarely in Practice》首先探究了这个问题，正如其标题所言，答案是“理论上存在但实际出现概率很小”。

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在《你可能不需要BERT-flow：一个线性变换媲美BERT-flow》中，笔者提出了BERT-whitening，验证了一个线性变换就能媲美当时的SOTA方法BERT-flow。此外，BERT-whitening还可以对句向量进行降维，带来更低的内存占用和更快的检索速度。然而，在《无监督语义相似度哪家强？我们做了个比较全面的评测》中我们也发现，whitening操作并非总能带来提升，有些模型本身就很贴合任务（如经过有监督训练的SimBERT），那么额外的whitening操作往往会降低效果。

为了弥补这个不足，本文提出往BERT-whitening中引入了两个超参数，通过调节这两个超参数，我们几乎可以总是获得“降维不掉点”的结果。换句话说，即便是原来加上whitening后效果会下降的任务，如今也有机会在降维的同时获得相近甚至更好的效果了。

方法概要

目前BERT-whitening的流程是：
\begin{equation}\begin{aligned}
\tilde{\boldsymbol{x}}_i =&\, (\boldsymbol{x}_i - \boldsymbol{\mu})\boldsymbol{U}\boldsymbol{\Lambda}^{-1/2} \\
\boldsymbol{\mu} =&\, \frac{1}{N}\sum\limits_{i=1}^N \boldsymbol{x}_i \\
\boldsymbol{\Sigma} =&\, \frac{1}{N}\sum\limits_{i=1}^N (\boldsymbol{x}_i - \boldsymbol{\mu})^{\top}(\boldsymbol{x}_i - \boldsymbol{\mu}) = \boldsymbol{U}\boldsymbol{\Lambda}\boldsymbol{U}^{\top} \,\,(\text{SVD分解})
\end{aligned}\end{equation}

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最近Arxiv上的一篇论文《EXACT: How to Train Your Accuracy》引起了笔者的兴趣，顾名思义这是介绍如何直接以准确率为训练目标来训练模型的。正好笔者之前也对此有过一些分析，如《函数光滑化杂谈：不可导函数的可导逼近》、《再谈类别不平衡问题：调节权重与魔改Loss的对比联系》等， 所以带着之前的研究经验很快完成了论文的阅读，写下了这篇总结，并附上了最近关于这个主题的一些新思考。

失实的例子

论文开头指出，我们平时用的分类损失函数是交叉熵或者像SVM中的Hinge Loss，这两个损失均不能很好地拟合最终的评价指标准确率。为了说明这一点，论文举了一个很简单的例子：假设数据只有$\{(-0.25,-1),(0,-1),(0.25,,1)\}$三个点，$-1$和$1$分别代表负类和正类，待拟合模型是$f(x)=x-b$，$b$是参数，我们希望通过$\text{sign}(f(x))$来预测类别。如果用“sigmoid + 交叉熵”，那么损失函数就是$-\log \frac{1}{1+e^{-l \cdot f(x)}}$，$(x,l)$代表一对标签数据；如果用Hinge Loss，则是$\max(0, 1 - l\cdot f(x))$。

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可能有读者留意到，这次更新相对来说隔得比较久了。事实上，在上周末时就开始准备这篇文章了，然而笔者低估了这个问题的难度，几乎推导了整整一周，仍然还没得到一个完善的结果出来。目前发出来的，仍然只是一个失败的结果，希望有经验的读者可以指点指点。

在文章《将“Softmax+交叉熵”推广到多标签分类问题》中，我们提出了一个多标签分类损失函数，它能自动调节正负类的不平衡问题，后来在《多标签“Softmax+交叉熵”的软标签版本》中我们还进一步得到了它的“软标签”版本。本质上来说，多标签分类就是“$n$个2分类”问题，那么相应的，“$n$个$m$分类”的损失函数又该是怎样的呢？

这就是本文所要探讨的问题。

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到目前为止，笔者给出了生成扩散模型DDPM的两种推导，分别是《生成扩散模型漫谈（一）：DDPM = 拆楼 + 建楼》中的通俗类比方案和《生成扩散模型漫谈（二）：DDPM = 自回归式VAE》中的变分自编码器方案。两种方案可谓各有特点，前者更为直白易懂，但无法做更多的理论延伸和定量理解，后者理论分析上更加完备一些，但稍显形式化，启发性不足。

贝叶斯定理（来自维基百科）

在这篇文章中，我们再分享DDPM的一种推导，它主要利用到了贝叶斯定理来简化计算，整个过程的“推敲”味道颇浓，很有启发性。不仅如此，它还跟我们后面将要介绍的DDIM模型有着紧密的联系。

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这几天读到论文《Exploring and Exploiting Hubness Priors for High-Quality GAN Latent Sampling》，了解到了一个新的名词“Hubness现象”，说的是高维空间中的一种聚集效应，本质上是“维度灾难”的体现之一。论文借助Hubness的概念得到了一个提升GAN模型生成质量的方案，看起来还蛮有意思。所以笔者就顺便去学习了一下Hubness现象的相关内容，记录在此，供大家参考。

坍缩的球

“维度灾难”是一个很宽泛的概念，所有在高维空间中与相应的二维、三维空间版本出入很大的结论，都可以称之为“维度灾难”，比如《n维空间下两个随机向量的夹角分布》中介绍的“高维空间中任何两个向量几乎都是垂直的”。其中，有不少维度灾难现象有着同一个源头——“高维空间单位球与其外切正方体的体积之比逐渐坍缩至0”，包括本文的主题“Hubness现象”亦是如此。

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前段时间在最近的一篇论文《Unsupervised Opinion Summarization Using Approximate Geodesics》中学到了一个新的概念，叫做“测地线距离（Geodesic Distance）”，感觉有点意思，特来跟大家分享一下。

对笔者来说，“新”的不是测地线距离概念本身（以前学黎曼几何的时候就已经接触过了），而是语义相似度领域原来也可以巧妙地构造出测地线距离出来，并在某些场景下发挥作用。如果乐意，我们还可以说这是“流形上的语义相似度”，是不是瞬间就高级了不少？

论文梗概

首先，我们简单总结一下原论文的主要内容。顾名思义，论文的主题是摘要，通常我们的无监督摘要是这样做的：假设文章由$n$个句子$t_1,t_2,\cdots,t_n$组成，给每个句子设计打分函数$s(t_i)$（经典的是tf-idf及其变体），然后挑出打分最大的若干个句子作为摘要。当然，论文做的不是简单的摘要，而是“Opinion Summarization”，这个“Opinion”，我们可以理解为实现给定的主题或者中心$c$，摘要应该倾向于抽取出与$c$相关的句子，所以打分函数应该还应该跟$c$有关，即$s(t_i, c)$。

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上一篇文章《生成扩散模型漫谈（五）：一般框架之SDE篇》中，我们对宋飏博士的论文《Score-Based Generative Modeling through Stochastic Differential Equations》做了基本的介绍和推导。然而，顾名思义，上一篇文章主要涉及的是原论文中SDE相关的部分，而遗留了被称为“概率流ODE（Probability flow ODE）”的部分内容，所以本文对此做个补充分享。

事实上，遗留的这部分内容在原论文的正文中只占了一小节的篇幅，但我们需要新开一篇文章来介绍它，因为笔者想了很久后发现，该结果的推导还是没办法绕开Fokker-Planck方程，所以我们需要一定的篇幅来介绍Fokker-Planck方程，然后才能请主角ODE登场。

再次反思

我们来大致总结一下上一篇文章的内容：首先，我们通过SDE来定义了一个前向过程（“拆楼”）：
\begin{equation}d\boldsymbol{x} = \boldsymbol{f}_t(\boldsymbol{x}) dt + g_t d\boldsymbol{w}\label{eq:sde-forward}\end{equation}

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