13
Aug
对称多项式不等式的“物理证明”
By 苏剑林 | 2011-08-13 | 38843位读者 | 引用本文将再次谈到对称这个话题，不过这一次的对象不是“等式”，而是“不等式”。
在数学研究中，我们经常会遇到各种各样的函数式子，其中有相当一部分是“对称”的。什么是对称的函数呢？对称有很多种说法，但是针对于多元对称式，我们的定义为满足$f(x_1,x_2,...,x_n)=f(y_1,y_2,...,y_n)$的函数，其中$(y_1,y_2,...,y_n)$是$(x_1,x_2,...,x_n)$的任意一个排列。通俗来讲，就是将式子中任意两个未知数交换位置，得到的式子还是和原来的式子一样。例如$\sin x+\sin y$，把$x,y$交换位置后得到$\sin y+\sin x$，还是和原来的一样；再如$xy+yz+zx$，将y,z互换后可以得到$xz+zy+yx$，结果还是和原式一样；等等。有些对称的函数是一个n次的多项式，那么就叫它为n次对称多项式，上边的例子$xz+zy+yx$就是一个三元二次对称多项式。
27
Aug
科学空间：2011年9月重要天象
By 苏剑林 | 2011-08-27 | 18271位读者 | 引用秋高气爽的九月，天象剧场也逐渐热闹起来。秋分前后的夜晚，是一年中偶发流星出现最为频繁的时段。尤其是到了后半夜，如果赶上晴天，每小时看到二三十颗偶发流星都不成问题。与此同时，秋夜星空也不乏看点，美丽的仙女座星系M31肉眼可见，三角座星系M33等深空天体也是天文爱好者热衷的观测目标。除此之外，天王星将于本月迎来冲日，观测条件较好。
9月12日，我们又会迎来今年最重要的节日之一——中秋节。届时，不论您是身在他乡为“异客”，或是在家陪伴着亲人，BoJone都愿与你一起“举头望明月”。在此提前预祝大家中秋快乐、美满、团圆！
21
Aug
有理直角三角形的面积能否为整数？
By 苏剑林 | 2011-08-21 | 41121位读者 | 引用这是一个古老而有趣的问题，但在引入这个问题之前，我们首先来看一个简单的问题：
整数边直角三角形的面积能否为一个完全平方数？
答案是不能。我们可以举一些例子来检验一下，例如边长为3,4,5的直角三角形面积为6，6不是一个平方数；再如边长为5,12,13的直角三角形面积为30，30也不是一个平方数...当然，数学的最近目的是要求严格证明，而不是简单举例，否则就只得称为不完全归纳，这样得出来的是一个猜想，而不是“定理”，就好象著名的“哥德巴赫猜想”...本文我们将试图证明这个命题。
我们稍后还会发现，这个问题和以下问题是等价的：
是否存在一个面积为1的三边长都是有理数的直角三角形？
更让人意外的是，这个问题也等价于方程$x^4+y^4=z^4$并没有整数解，换句话说，我们要证明n=4时的“费马大定理”！
12
Sep
数学竞赛广东预赛|组成三角形的概率
By 苏剑林 | 2011-09-12 | 61964位读者 | 引用九月三日BoJone和九个同学到云浮参加了今年广东省的数学竞赛预赛，那一起出发、玩笑、作战、吃饭的情景依然历历在目，让我久久不能忘怀。是呀，能够并肩作战的感觉真好！九日数学成绩出来了，遗憾的是今年政策改变了，我被告知整个市只有三个名额能够参加复赛，于是新兴只有我一个人进入了复赛（另外两个据说是罗定的，我们三个并列第一）。有点无语，我想，大概是要把那些为了功利而参赛的人都给刷下去吧...
今年广东的预赛题前所未有的简单，不论是和全国其他地方相比还是和上一年的题目相比，都简单了不少，但我还是做得不大理想，据我估计，120分的卷子我顶多能够拿个68分，所以BoJone的基本技能实在不容乐观。从云浮考试回来后，和同行的同学讨论试题，得出了一些很有趣的结果，那过程可谓其乐无穷呀！下面是倒数第二题预赛题的几个绝妙解法，供大家欣赏。解法由我和伍泽麒（人称“兔子、神兔”，人如其名，天资聪颖，性格可爱）完成。
题目：
在一条线段中随意选取两个点，把这条线段截成三段，求这三段线段能够组成一个三角形的概率。
17
Nov
[欧拉数学]凸多面体的面、顶、棱公式
By 苏剑林 | 2011-11-17 | 47227位读者 | 引用
莱昂哈德·欧拉
作为数学史上最高产的数学家（似乎没有之一），欧拉的研究几乎涉及了所有数学领域，包括数论、图论、微积分等，同时他还是一个物理学家，他与拉格朗日首创的变分法使得经典力学的研究达到了一个新的高度。欧拉具有惊人的计算能力和数学直觉，这对他的数学研究帮助极大。现在在很多领域，我们都可以看到不少以欧拉命名的公式、定理。欧拉在数学上极为高产，而且得出了相当多的正确结论，但其中有相当多的结论只是来源于他的数学直觉（创造性思维）以及类比推理，这并非欧拉不追求严谨，而是由于当时数学知识的局限性，难以严密化。还有，研究的顺序是：先得出答案，然后才论证答案！
再者，创造性思维往往令人叫绝，能更加促进我们的思维能力。过多地考虑严格性和技术细节，通常都妨碍了我们得出正确的答案。正如《解题的艺术》中说道：粗略而有灵感的思想可能会引出严格证明；而有时，严格的证明会完全淡化论证的精髓。因此，我们不必在意欧拉证明的不严谨，反而，它是一次完美的视觉与思维享受。正因如此，一些绝妙、非严密、（在某种程度上）不正确的但同时得出了正确结果的数学论证，就被称为“欧拉数学”。事实上，任何人、任何研究都必须经过“欧拉数学”这一不严密的早期阶段。
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下面是一条关于凸多面体的面、顶、棱公式，它属于拓扑学的内容，我们称之为“欧拉公式”。（当然，公式是欧拉的，论证过程只是笔者粗糙地给出的）。
19
Nov
[欧拉数学]素数倒数之和
By 苏剑林 | 2011-11-19 | 40731位读者 | 引用上一篇文章我通过欧拉数学的方式简单地讲了数论中的“黎曼ζ函数”和“金钥匙”。事实上，这把“金钥匙”与很多问题之间的联系已经被建立了起来，换句话说，“金钥匙”已经插入到了相应的“锁孔”中，数学家的工作就是要把这个金钥匙“拧动”，继而打开数学之门！
接下来我们看看如何证明所有素数的倒数之和发散的。在入正题之前，我们得需要看一个引理：
无限数列${a_n}$的每一项都大于0，那么$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$与$\prod\limits_{n=1}^{\infty} \left(1+a_n\right)$的敛散性相同。换句话说，两者互为充分必要条件！
13
Jan
混沌的世界——“星之轨迹”的研究
By 苏剑林 | 2012-01-13 | 41669位读者 | 引用（本文已被刊登在2012年1月的《天文爱好者》上，于笔者而言这是一份很棒的新年礼物！）
在去年第七期《天爱》上，我们看到了N体问题所呈现出来的一些对称、漂亮的周期轨道，这体现了N体问题和谐有序的一面。但是这仅仅是N体问题的冰山一角，笔者也提到过N体问题的本质是混沌、无序的，通俗来讲就是非常乱，无法用数学方程来精确描述。这看起来是一种不完美。但试想，探索当初伽利略将望远镜对准月球后，看到的是如想象中光滑的月面，那么他还会惊叹宇宙的神奇吗？
本文就让我们来更深入地了解一下N体问题的研究历史。
观测&拟合时代
由于人类的自我优越感以及日月星辰东升西落的经验，让我们长期都认为地球是宇宙的中心。第一个比较系统提出地心说的人当属天文学家欧多克斯（Eudoxus，死于公元前347年左右），但他的地心说是非常粗糙的，以至于无法解释很多基本现象，如无法准确预言日食和解释行星逆行等。但亚里士多德接受了地心说，并且由于他在政治和科学上的权威，使地心说免去了夭折的命运。后来托勒密通过他的本轮，完善了地心说，使之延续到了16世纪。
21
Jan
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