在讨论曲线坐标系的积分时,通常都会出现行列式这个东西,作为“体积元”的因子。在广义相对论中,爱因斯坦场方程的作用量就带有度规的行列式,而在对其进行变分时,自然也就涉及到了行列式的求导问题。我参考了朗道的《场论》以及《数理物理基础--物理需用线性高等数学导引》,了解到相关结果,遂记录如下。


$$\boldsymbol{A}(t)=\left(a_{ij}(t)\right)_{n\times n}$$
是一个n阶矩阵,其中每个矩阵元素都是t的函数。其行列式为$|\boldsymbol{A}|$,自然地,考虑
$$\frac{d}{dt}|\boldsymbol{A}|$$
由行列式的基本性质,有
$$|\boldsymbol{A}(a_{ij}+\varepsilon)|-|\boldsymbol{A}|=\varepsilon A_{ij}$$
其中$|\boldsymbol{A}(a_{ij}+\varepsilon)|$是将矩阵$\boldsymbol{A}$的$a_{ij}$换成$a_{ij}+\varepsilon$后的行列式的值,而$A_{ij}$是行列式$|\boldsymbol{A}|$关于$a_{ij}$的代数余子式。上式给出
$$\frac{\partial |\boldsymbol{A}|}{\partial a_{ij}}= A_{ij}$$
也就是说,代数余子式可以表示为行列式的偏导数。

那么
$$\frac{d}{dt}|\boldsymbol{A}|=\sum_{i}\sum_{j}\frac{\partial |\boldsymbol{A}|}{\partial a_{ij}}\frac{d a_{ij}}{dt}=\sum_{i}\sum_{j} A_{ij}\frac{d a_{ij}}{dt}$$
(为了得出第一个等式,只需要给矩阵$\boldsymbol{A}$的每个元素都增加一个无穷小量,然后把增量后的矩阵的行列式展开,保留一阶无穷小项。)

所以
$$\frac{d}{dt}|\boldsymbol{A}|=|\boldsymbol{A}|\sum_{i}\sum_{j} \frac{A_{ij}}{|\boldsymbol{A}|}\frac{d a_{ij}}{dt}$$
或许可以重写一下,会使得过程更加清楚
$$\frac{d}{dt}|\boldsymbol{A}|=|\boldsymbol{A}|\sum_{j=k}\sum_{i} \frac{A_{ij}}{|\boldsymbol{A}|}\frac{d a_{ik}}{dt}$$
其中
$$(\boldsymbol{A}^{-1})_{ij}=\frac{A_{ji}}{|\boldsymbol{A}|}$$
正好是矩阵$\boldsymbol{A}$的逆阵$\boldsymbol{A}^{-1}$的元素,而$\frac{d a_{ij}}{dt}$则是矩阵$\frac{d \boldsymbol{A}}{dt}$的元素。第一次求和即把两个矩阵相乘,得
$$\left(\boldsymbol{A}^{-1}\frac{d \boldsymbol{A}}{dt}\right)_{jk}=\sum_{i} (\boldsymbol{A}^{-1})_{ji}\left(\frac{d\boldsymbol{A}}{dt}\right)_{ik}=\sum_{i} \frac{A_{ij}}{|\boldsymbol{A}|}\frac{d a_{ik}}{dt}$$
而第二次求和则相当于取矩阵的迹,所以
$$\frac{d}{dt}|\boldsymbol{A}|=|\boldsymbol{A}| \boldsymbol{Tr}\left(\boldsymbol{A}^{-1}\frac{d \boldsymbol{A}}{dt}\right)$$
用张量分析中的符号,则更加简单了,记$g=\det(g_{\mu\nu}),g_{\mu s} g^{s\nu}=\delta_{\mu}^{\nu}$,则
$$dg=g g^{\mu\nu} dg_{\mu\nu}$$

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苏剑林. (2014, Feb 28). 《行列式的导数 》[Blog post]. Retrieved from https://kexue.fm/archives/2383