科学空间|Scientific Spaces

自从《更便捷的Cool Papers打开方式：Chrome重定向扩展》之后，Cool Papers有两次比较大的变化，一次是引入了venue分支，逐步收录了一些会议历年的论文集，如ICLR、ICML等，这部分是动态人工扩充的，欢迎有心仪的会议的读者提更多需求；另一次就是本文的主题，前天新增加的站内检索功能。

本文将简单介绍一下新增功能，并对搭建站内检索系统的过程做个基本总结。

简介

在Cool Papers的首页，我们看到搜索入口：

Cool Papers（2024.05.07）

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近年来，RNN由于其线性的训练和推理效率，重新吸引了不少研究人员和用户的兴趣，隐约有“文艺复兴”之势，其代表作有RWKV、RetNet、Mamba等。当将RNN用于语言模型时，其典型特点就是每步生成都是常数的空间复杂度和时间复杂度，从整个序列看来就是常数的空间复杂度和线性的时间复杂度。当然，任何事情都有两面性，相比于Attention动态增长的KV Cache，RNN的常数空间复杂度通常也让人怀疑记忆容量有限，在Long Context上的效果很难比得上Attention。

在这篇文章中，我们表明Causal Attention可以重写成RNN的形式，并且它的每一步生成理论上也能够以$\mathcal{O}(1)$的空间复杂度进行（代价是时间复杂度非常高，远超平方级）。这表明Attention的优势（如果有的话）是靠计算堆出来的，而不是直觉上的堆内存，它跟RNN一样本质上都是常数量级的记忆容量（记忆瓶颈）。

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在矩阵压缩这个问题上，我们通常有两个策略可以选择，分别是低秩化和稀疏化。低秩化通过寻找矩阵的低秩近似来减少矩阵尺寸，而稀疏化则是通过减少矩阵中的非零元素来降低矩阵的复杂性。如果说SVD是奔着矩阵的低秩近似去的，那么相应地寻找矩阵稀疏近似的算法又是什么呢？

接下来我们要学习的是论文《Monarch: Expressive Structured Matrices for Efficient and Accurate Training》，它为上述问题给出了一个答案——“Monarch矩阵”，这是一簇能够分解为若干置换矩阵与稀疏矩阵乘积的矩阵，同时具备计算高效且表达能力强的特点，论文还讨论了如何求一般矩阵的Monarch近似，以及利用Monarch矩阵参数化LLM来提高LLM速度等内容。

Monarch矩阵形式M=PLPR

值得指出的是，该论文的作者也正是著名的Flash Attention的作者Tri Dao，其工作几乎都在致力于改进LLM的性能，这篇Monarch也是他主页上特意展示的几篇论文之一，单从这一点看就非常值得学习一番。

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当要求函数的最小值时，我们通常会先求导函数然后寻找其零点，比较幸运的情况下，这些零点之一正好是原函数的最小值点。如果是向量函数，则将导数改为梯度并求其零点。当梯度零点不易求得时，我们可以使用梯度下降来逐渐逼近最小值点。

以上这些都是无约束优化的基础结果，相信不少读者都有所了解。然而，本文的主题是概率空间中的优化，即目标函数的输入是一个概率分布，这类目标的优化更为复杂，因为它的搜索空间不再是无约束的，如果我们依旧去求解梯度零点或者执行梯度下降，所得结果未必能保证是一个概率分布。因此，我们需要寻找一种新的分析和计算方法，以确保优化结果能够符合概率分布的特性。

对此，笔者一直以来也感到颇为头疼，所以近来决定”痛定思痛“，针对概率分布的优化问题系统学习了一番，最后将学习所得整理在此，供大家参考。

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前两周笔者写了《对齐全量微调！这是我看过最精彩的LoRA（一）》（当时还没有编号“一”），里边介绍了一个名为“LoRA-GA”的LoRA变体，它通过梯度SVD来改进LoRA的初始化，从而实现LoRA与全量微调的对齐。当然，从理论上来讲，这样做也只能尽量对齐第一步更新后的$W_1$，所以当时就有读者提出了“后面的$W_2,W_3,\cdots$不管了吗？”的疑问，当时笔者也没想太深入，就单纯觉得对齐了第一步后，后面的优化也会严格一条较优的轨迹走。

有趣的是，LoRA-GA才出来没多久，arXiv上就新出了《LoRA-Pro: Are Low-Rank Adapters Properly Optimized?》，其所提的LoRA-Pro正好能回答这个问题！LoRA-Pro同样是想着对齐全量微调，但它对齐的是每一步梯度，从而对齐整条优化轨迹，这正好是跟LoRA-GA互补的改进点。

对齐全量

本文接着上一篇文章的记号和内容进行讲述，所以这里仅对上一节的内容做一个简单回顾，不再详细重复介绍。LoRA的参数化方式是
\begin{equation}W = (W_0 - A_0 B_0) + AB\end{equation}

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在《Cool Papers更新：简单搭建了一个站内检索系统》这篇文章中，我们介绍了Cool Papers新增的站内搜索系统。搜索系统的目的，自然希望能够帮助用户快速找到他们需要的论文。然而，如何高效地检索到对自己有价值的结果，并不是一件简单的事情，这里边往往需要一些技巧，比如精准提炼关键词。

这时候算法的价值就体现出来了，有些步骤人工来做会比较繁琐，但用算法来却很简单。所以接下来，我们将介绍几点通过算法来提高Cool Papers的搜索和筛选论文效率的新尝试。

相关论文

站内搜索背后的技术是全文检索引擎（Full-text Search Engine），简单来说，这就是一个基于关键词匹配的搜索算法，其相似度指标是BM25。

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在《低秩近似之路（二）：SVD》中，我们证明了SVD可以给出任意矩阵的最优低秩近似。那里的最优近似是无约束的，也就是说SVD给出的结果只管误差上的最小，不在乎矩阵的具体结构，而在很多应用场景中，出于可解释性或者非线性处理等需求，我们往往希望得到具有某些特殊结构的近似分解。

因此，从这篇文章开始，我们将探究一些具有特定结构的低秩近似，而本文将聚焦于其中的CR近似（Column-Row Approximation），它提供了加速矩阵乘法运算的一种简单方案。

问题背景

矩阵的最优$r$秩近似的一般提法是
\begin{equation}\mathop{\text{argmin}}_{\text{rank}(\tilde{\boldsymbol{M}})\leq r}\Vert \tilde{\boldsymbol{M}} - \boldsymbol{M}\Vert_F^2\label{eq:loss-m2}\end{equation}

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再次回到低秩近似之路上。在《低秩近似之路（四）：ID》中，我们介绍了“插值分解（Interpolative Decomposition，ID）”，这是为矩阵$\boldsymbol{M}\in\mathbb{R}^{n\times m}$寻找$\boldsymbol{C}\boldsymbol{Z}$形式的近似的过程，其中$\boldsymbol{C}\in\mathbb{R}^{n\times r}$是矩阵$\boldsymbol{M}$的若干列，而$\boldsymbol{Z}\in\mathbb{R}^{r\times m}$是任意矩阵。

这篇文章我们将介绍CUR分解，它跟插值分解的思想一脉相承，都是以原始矩阵的行、列为“骨架”来构建原始矩阵的近似，跟ID只用行或列之一不同，CUR分解同时用到了行和列。

基本定义

其实这不是本站第一次出现CUR分解了。早在《Nyströmformer：基于矩阵分解的线性化Attention方案》我们就介绍过矩阵的Nyström近似，它实际上就是CUR分解，后来在《利用CUR分解加速交互式相似度模型的检索》还介绍了CUR分解在降低交互式相似度模型的检索复杂度的应用。

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