《自然极值》系列——3.平衡态公理
By 苏剑林 | 2010-11-28 | 19066位读者 | 引用《自然极值》系列——2.费马原理
By 苏剑林 | 2010-11-27 | 43807位读者 | 引用物理学的美不仅仅表现在简洁的公式上。我们还惊奇地发现,很多物理现象都是按照使某个变量达到极值的方式发生。一个典型的例子就是费马原理,它指出了光的传播路径的一个重要规律:光总是沿着所花时间最短的路径传播。这里我们将简单介绍一下费马原理。
费马原理俗称“最快到达原理”、“最小时间原理”。1657年,费马提出:
从P点到达Q点,在所有可行的路径中,光选择了所需时间最短的一条。
从P点到达Q点,在所有可行的路径中,光选择了所需时间为极值的一条。
这是一个极其奇妙的原理,也是自然界中最神奇的极值之一。作为非生物的光,居然自主地选择了最优路径,成为世界上“效率最高”的东西,这让人不得不佩服宇宙的伟大。这究竟是造物者的精心设计,还是无心之作?
《自然极值》系列——1.前言
By 苏剑林 | 2010-11-27 | 53154位读者 | 引用附:期中考过后,课程紧了,自由时间少了,因此科学空间的更新也放缓了。不过BoJone也会尽量地更新一些内容,和大家一同分享学习的乐趣。
上一周和这一周的时间里,BoJone将自己学习物理和极值的一些内容进行了总结和整合,写成了《自然极值》一文。因此从今天起,到十二月的大多数时间里,科学空间将和大家讲述并讨论关于“极值”的问题,希望读者会喜欢这部分内容。当然,我不是专业的研究人员,更不是经验丰富的物理和数学教师,甚至可以说是一个“乳臭未干的小子”,因此,错误在所难免,只希望同好不吝指出,更希冀能够起到我抛出的这一块“砖”能够引出美妙的“玉”。
警察捉贼,追牛问题,导弹跟踪
By 苏剑林 | 2010-11-06 | 53785位读者 | 引用王二小的牛跑了,当他发现时,牛在他正南方300米。且一直向正西方向匀速的跑,王二小立即追牛,他不是朝着一个固定的方向,而是每时每刻都朝着牛的方向跑,且速度是牛速度的4/3倍。当他追上牛时王二小共跑了多远?
问题分析
咋看起来,追牛和导弹是风牛马不相及的两件事:一个是生活小事,一个是物理问题,怎么能够扯到一块呢?
回想一下平时警察抓小偷的过程。警察不是物理学家,不会也可不能先去研究小偷的逃走路线函数,然后设计最小追赶时间的路程吧?那么,在不能预知小偷逃跑路线的前提下,警察要怎样捉小偷呢?很简单,盯死他!是的,只要你以更快的速度,一直朝着他跑,总能够追到的。继续联想下:要想用导弹跟踪摧毁一首敌舰,不也是只能够采用这种方式吗?回看文章开始的“追牛问题”,本质上不是一样的吗?以下是上海交大提出的导弹跟踪问题:
这个星期对微分方程的认识
By 苏剑林 | 2010-11-06 | 35849位读者 | 引用这个星期研究了两道微分方程问题:“导弹跟踪”以及“太阳炉”问题。从中我加深了对微分方程的理解,也熟悉了微分方程的相关运算。仅此记录,权当抛砖引玉。
一、微分方程的本质
很多读者都知道,自从牛顿和莱布尼兹发明微积分之后,微积分就迅速地渗透到了几乎所有的学科,后来发展出许多出色的分支,如变分、微分方程等。众所周知,微分方程是解决很多重要问题的工具。不知道各位读者对微分及微分方程的认识如何?其实对于常微分方程而言,它的本质和我们已经学习过的代数方程一样,只不过相互之间的对应运算关系除了常规的加减乘除幂等之外,还多了两个相互关系:微分和积分。例如对于一阶微分方程$\dot{y}=f(x,y)$,也许大家都认为它是一个二元方程,其实不然,这是一个“四个未知数、三道方程”所组成的方程组,我们可以将它写成
$$dy=f(x,y)dx,y=\int dy,x=\int dx$$
以自然数幂为系数的幂级数
By 苏剑林 | 2010-10-16 | 31827位读者 | 引用$\sum_{i=0}^{\infty} a_i x^i=a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3+...$
最近为了数学竞赛,我研究了有关数列和排列组合的相关问题。由于我讨厌为某个问题而设计专门的技巧,所以我偏爱通用的方法,哪怕过程相对麻烦。因此,我对数学归纳法(递推法)和生成函数法情有独钟。前者只需要列出问题的递归关系,而不用具体分析,最终把问题转移到解函数方程上来。后者则巧妙地把数列${a_n}$与幂级数$\sum_{i=0}^{\infty} a_i x^i$一一对应,巧妙地通过代数运算或微积分运算等得到结果。这里我们不用考虑该级数的敛散性,只需要知道它对应着哪一个“母函数”(母函数展开泰勒级数后得到了级数$\sum_{i=0}^{\infty} a_i x^i$)。显然,这两种方法的最终,都是把问题归结为代数问题。
欣赏一张图片——I Heart Math
By 苏剑林 | 2010-10-07 | 33117位读者 | 引用《积分公式大全》网络版本
By 苏剑林 | 2010-10-06 | 20938位读者 | 引用为了方便各位读者查阅,BoJone特意制作了这个积分公式表的电子版本。
数学公式采用JsMath技术显示,为了能够更清晰地显示数学公式,推荐读者下载TeX-fonts字体。
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