在上一篇文章中,我们以矩阵的方式推导出了洛仑兹变换。矩阵表述不仅仅具有形式上的美,还具有很重要的实用价值,比如可以很方便地寻找各种不变量。当洛仑兹变换用矩阵的方式表达出来后,很多线性代数中已知的理论都可以用在上边。在这篇小小的续集中,我们将尝试阐述这个思想。

本文中,继续设光速$c=1$。

我们已经得到了洛仑兹变换的矩阵形式:
\begin{equation}\left[\begin{array}{c} x\\t \end{array}\right]=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}\left[\begin{array}{c c}1 & v\\ v & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x'\\t' \end{array}\right]\end{equation}

时间与空间虽然在相对论中已经融合为一个整体,但是时间的的确确具有它自己的独特性。为了体现这种独特性,我们沿用理论物理中一贯的做法,将时间乘上虚数单位$i$,那么洛仑兹变换矩阵变成了:
\begin{equation}\left[\begin{array}{c} x\\it \end{array}\right]=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}\left[\begin{array}{c c}1 & -iv\\ iv & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x'\\it' \end{array}\right] \end{equation}

这种形式有它自己的优越性。我们将变换矩阵$\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}\left[\begin{array}{c c}1 & -iv\\ iv & 1 \end{array}\right]$记为$\boldsymbol{A}$,将$\left[\begin{array}{c} x\\it \end{array}\right]$和$\left[\begin{array}{c} x'\\it' \end{array}\right]$分别记为向量$\boldsymbol{x}$和$\boldsymbol{x'}$。即
\begin{equation}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{x'}\end{equation}

光速不变原理 #

矩阵$\boldsymbol{A}$满足:$\boldsymbol{A}^T \boldsymbol{A}=I$,这就给我们带来了极大的便利,因为我们可以立马发现一个不变的量:
\begin{equation}\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{x}=\boldsymbol{x'}^T \boldsymbol{A}^T \boldsymbol{A} \boldsymbol{x'}=\boldsymbol{x'}^T \boldsymbol{x'}\end{equation}

翻译过来就是$x^2-t^2=x'^2-t'^2$。这是光速不变原理的体现。

当然,我们也可以以$x^2-t^2=x'^2-t'^2$为出发点来推导洛仑兹变换的矩阵,这将得到矩阵的$\left[\begin{array}{c c}a & c\\ b& d \end{array}\right]$的两个关系式。再结合相对性原理以及相对运动就可以得到完整的矩阵的形式。读者不妨亲自尝试一下?

速度合成 #

如果两个洛仑兹变换的合成会出现什么结果呢?假设(同向运动)物体A相对于B的速度为$v$,B相对于C的速度为$w$,那么A相对于C的速度是多少呢?我们看看对应的两个洛仑兹变换矩阵$\boldsymbol{A}_v$和$\boldsymbol{A}_w$的合成,即
\begin{equation}\begin{aligned}\boldsymbol{x}=&\,\boldsymbol{A}_v \boldsymbol{A}_w \boldsymbol{x'} \\
=&\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}\left[\begin{array}{c c}1 & -iv\\ iv & 1 \end{array}\right]\frac{1}{\sqrt{1-w^2}}\left[\begin{array}{c c}1 & -iw\\ iw & 1 \end{array}\right] \\ =&\frac{1}{\sqrt{(1-v^2)(1-w^2)}}\left[\begin{array}{c c}1+wv & -i(w+v)\\ i(w+v) & 1+wv \end{array}\right] \\
=&\frac{1+wv}{\sqrt{(1-v^2)(1-w^2)}}\left[\begin{array}{c c}1 & -i(\frac{w+v}{1+wv})\\ i(\frac{w+v}{1+wv}) & 1 \end{array}\right]
\end{aligned}\end{equation}

将最后一个矩阵与$\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}\left[\begin{array}{c c}1 & -iv\\ iv & 1 \end{array}\right]$对比,不难速度的合成为:
\begin{equation}\frac{w+v}{1+wv}\end{equation}

这就是相对论的速度合成公式。(当然,如果你对$\frac{1+wv}{\sqrt{(1-v^2)(1-w^2)}}$不放心,可以再检验一下。)对于这种处理来说,这些结果是相当简洁显然的,足以充分体现矩阵研究的巨大魅力。

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苏剑林. (2013, Feb 27). 《纠缠的时空(二):洛仑兹变换的矩阵(续) 》[Blog post]. Retrieved from https://kexue.fm/archives/1923