沐浴问题——调控水温

载入正题之前，不妨闲扯一下BoJone的家...

BoJone在一些文章中已经提到过，我是一个来自农村的孩子，目前我的家也在农村。虽然生活并不能说“贫困”，家中也添置了不少电器，不过一直没有购置的就是洗衣机和热水器。洗衣机嘛，我觉得衣服自己动手洗是很好的，至少不让自己偷懒。至于热水器，因为家在农村，所以能够比较方便地弄到一些柴草，而且稻谷收割完后的桔梗也可以当燃料用，平时烧菜一般都用烧柴草，因此热水器实在没有多大必要。（很遗憾，沼气池没有能够在这里普及起来，大家可不要责怪我排放温室气体哦...^_^）

既然没有热水器，那只能人工烧水了。往往是烧好一大锅水，洗澡时盛一盆子，然后加水降温，接着就可以洗白白了。本文的问题正是来源于调水温。当水很热时，为了加快降温，我们往往“双管齐下”：一边向盆子注入冷水，一般从盆子放出热水。于是就有了一个问题：水的温度与时间成什么关系？

为了把该问题简化成一个物理模型，不放做以下假设：

一个容器装有质量为M₀、温度为T₀的水，现以v₁kg/s的速度向容器注入温度为T₁的水，并以v₂kg/s的速度从容器中放出热水。假设在此过程中没有空气散失等热量损失，并且注水时的热平衡能够瞬时完成，且热平衡时只对容器中的水有效（也就是说注水时不会导致“放水管”中的水温度降低）。求容器中水温T与时间t的关系。（温度为开尔文单位）

设水的比热容为c，t时刻容器内的水量为M、温度为T，那么容器内的水的热能为
$$E=MTc$$
在经历了$\Delta t$时间后，水量变化为$\Delta M=(v_1-v_2)\Delta t$，热量的变化为
$$\Delta E=v_1 T_1 c \Delta t-v_2 T c\Delta t$$
水温的变化为$\Delta T=\frac{E+\Delta E}{(M+Delta M)c}-T$

将上式展开，并略去二阶项，得到$v_1 T \Delta t+M\Delta T=v_1 T_1 \Delta t$
取极限就有$\frac{dT}{dt}=\frac{v_1}{M}(T_1-T)$

我们不难得出水量的函数式为$M=M_0+(v_1-v_2)t$，代入就得
$$\frac{dT}{dt}=v_1\frac{T_1-T}{M_0+(v_1-v_2)}\tag{1}$$
方程(1)就是我们所需要解的微分方程。这道方程很简单，直接分离常数得
$$\frac{dT}{T_1-T}=v_1\frac{dt}{M_0+(v_1-v_2)}$$

当$v_1=v_2$时，右端变成了常数，有
$$C-ln(T_1-T)=\frac{v_1}{M_0}t$$

C是积分常数，根据初始条件$t=0,T=T_0$并化简得
$$T=T_1+(T_0-T_1)\exp(-\frac{v_1 t}{M_0})\tag{2}$$
当$v_1 !=v_2$时，右端是一个一次函数，积分得
$$C-ln(T_1-T)=\frac{v_1}{v_1-v_2}ln[M_0+(v_1-v_2)t]$$

同样根据初始条件化简得（能否允许我将这部分的工作留给你去做？^_^）
$$T=T_1+(T_0-T_1)[1+(\frac{v_1-v_2}{M_0})t]^{(\frac{v_1}{v_2-v_1})}\tag{3}$$
可以发现，其实(2)和(3)是一样的，只不过(2)是(3)的一个极限罢了。

这两个解均满足：1)当$T_0=T_1$时，不降温；2)当$v_1=0$时，也不降温；3)当$t\to \infty$时，$T\to T_1$（当然前提是$v_1 > v_2$）

以上就是BoJone对一个生活问题的简陋分析，模型很粗糙，欢迎指正。各位读者可以而且应当多运用自己所学知识去了解生活问题，在这个方面，我觉得应该要“厚积厚发，薄积薄发”，而不能“厚积薄发”，尽可能地运用自己所掌握的知识去研究。

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