22 Jul

《虚拟的实在(4)》——质量是什么

笔者很少会谈到定义性的东西,原因很简单,因为我也不见得会比大家清楚,或者说也未必比大家所知道的准确。不过,刚刚与同好讨论过与质量相关的问题,就跟大家分享一下。

最初的问题是能量能不能转化为物质,我觉得根据$E=mc^2$,是显然可以的,例子嘛,我首先想到在量子场论中的真空是会不断产生和湮灭正负电子对的,因此这可以作为一个证据。但是这个感觉上太遥远了,所以我在互联网搜索了一下,不过搜到的内容大同小异:

当辐射光子能量足够高时,在它从原子核旁边经过时,在核库仑场作用下,辐射光子可能转化成一个正电子和一个负电子,这种过程称作电子对效应。
正负电子对效应

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20 Jul

洗手盆里的学问

农村的孩子免不了常做家务,当然我家也没有什么特别沉重的家务,通常都是扫地、做饭、洗菜这些简单的活儿。说到洗菜,洗完菜后总喜欢边放水边搅水,然后就在水面上形成一个颇为有趣的漩涡。现在我们从数学物理的角度来分析一下这个漩涡。

在讲洗手盆的漩涡之前,我们先来看一下一个比较类似的、更古老的问题——牛顿的旋转液面问题。牛顿假设有一个水桶(假设为圆柱形吧,但这不重要),水桶在绕自己的中轴线匀角速度旋转,直到桶内的水也随着匀角速度旋转(即水与水桶相对静止),此时水的液面形状是凹的,我们来看看该液面的形状。

牛顿的水桶

要分析形状,我们还要回顾之前提到过的流体静力学平衡:
http://kexue.fm/archives/1964/

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20 Jun

《虚拟的实在(3)》——相对论动力学

半个多月没有写文章了,一是因为接近期末考了,比较忙,当然最主要的原因还是人变懒了,呵呵,别人是忙里偷闲,我是闲里偷懒了。

这篇文章主要跟大家分享一下相对论动力学的知识。我们之前已经接触过相对论的坐标变换了,接下来的任务应该是把经典力学的动力学定律改成为相对论版本的,这显然也是学习场论的必经之路——懂得如何构造力学定律的相对版版本,是懂得构造相对论性场的基础。和朗道的《力学》与《场论》一样,我们的主线就是“最小作用量原理”。让我们回忆一下,在经典力学中,一个自由粒子的作用量是

$$S_m=\int Ldt=\int \frac{1}{2} m v^2dt$$

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7 Jun

《虚拟的实在(2)》——为什么引力如此复杂?

上一篇文章里我已经从我自己的理解角度简单说了一下场论的必要性,这次让我们再次谈到这个话题,企图在文字层面上得到更深入的认识。

上一两周的时间,我一直在找资料,主要是线性引力的资料,并且发现了很多有趣的东西,在此一并与大家分享一下。首先,当我在Google中输入“线性引力”时,我发现了一本“奇书”,一本名副其实的“巨著”——《引力论》!洋洋1300多页的大作,三位“超级巨星”——C.W.麦思纳(Charles W.Misner)、K.S.索恩(Kip S.Thorne)、J.A.惠勒(John Archibald Wheeler)——联合编写,恐怕再也找不到哪本书可以PK它的“全明星阵容”了。该书英文名为Gravitation,中文是由台湾翻译的,繁体中文版。全书讲述了引力的研究历史和发展情况,更重要的是几乎每一处历史都给出了数学论证!最最重要的,作者惠勒还是跟爱因斯坦同一个研究时代的人,我们可以最真实的感受到那年代的研究。看到这里,我就迫不及待地想买了,由于各种原因,我们很难买到,到图书馆找,发现有英文版的,就马上借过来了,另外因为买不到中文版,我只好到网上买了电子版,然后打印出来了。不过不是很清晰,而且自我感觉中文翻译不是很好(当然,已经够我们阅读了)。

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24 May

《虚拟的实在(1)》——为什么需要场?

迈克尔·法拉第肖像画.jpg这段时间我接触的物理学都是场论,从各种方面为广义相对论奠基。自我感觉,我的数学基础还算可以的,但是物理“底蕴”就不够了,通常是能够把物理理论的数学描述看懂,但是对每一步的物理基础和来源却不甚了解,真是“数学有余而物理不足”呀。陶醉在场论的海洋一段时间之后,对场论也有了个大概的印象。但是有一个最基础的问题,直到今天我才算是得到了比较满意的解答——为什么要引入场?

在传统的牛顿力学中并没有“场”这一概念,比如天体力学我们只需要考虑天体之间的相互作用力就可以完美解决很多问题,根本不需要场。估计广大读者首次接触到“场”的概念是在高中学习电学的时候,那时教科书给我们带来了电场、场线等诸多诡异的概念。事实上就是如此,可以这样说,历史上“场”是为了电磁学而诞生的——法拉第首次引入的场线具有独特的魅力。

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11 May

电的相对论效应——磁“子虚乌有”?

也许大家会觉得,相对论中有一个因子
$$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$
因此,相对论的效应只有在高速情况下,即v比较接近于c的情况下才会凸显出来。这在一般情况下是正确的,但是却不全对。因为存在相当明显的、速度低于1mm/s的相对论效应——那就是几乎人尽皆知的“磁”。

之前已经提及过,磁场可以解释为电场的相对论效应,因此所有电磁现象都可以归因为电场和相对论。事实上,这是正确的,只是教科书上并没有明确说出这一点而已。于是我们就不难理解“为什么电磁学的麦克斯韦方程组会与相对论协调”、“为什么电场与磁场的表现如此相似”等等问题了,因为它们的探究本身就在相对论的框架下,磁场和电场都是一个东西的结果。

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18 Apr

纠缠的时空:长度收缩和时间延缓

我们之前通过矩阵变换方式推导出了洛伦兹变换以及速度合成公式等结论,不得不说,矩阵推导方式有种引人入胜的魅力。今天,在讲述相对论(包括电动力学、广义相对论)的书籍里边,在数学形式上取而代之了张量这一工具,这实际上是对矩阵的一个推广(之前已经提到过,二阶张量相当于矩阵)。采用这样的形式在于它充分体现了相对论的对称和变换关系。本文将来谈及狭义相对论的一些基本结论,包括同时性、长度收缩、时间延缓等。

本文的光速c=1.

同时的相对性

在同一时空中,采取两个时空坐标进行洛伦兹变换,再作差,我们得到:
$$\left[\begin{array}{c} \Delta x\\ \Delta t \end{array}\right]=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}\left[\begin{array}{c c}1 & v\\ v & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\Delta x'\\ \Delta t' \end{array}\right] $$

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14 Apr

流体静力平衡的应用

很早以前我就对这个问题感兴趣了,但是一直搁置着,没有怎么研究。最近在阅读《引力与时空》的“潮汐力”那一节时重新回到了这个问题上,决定写点什么东西。在这里不深究流体静力平衡的定义,顾名思义地理解,它就是流体在某个特定的力场下所达到的平衡状态。流体静力学告诉我们:

达到流体静力平衡时,流体的面必定是一个等势面。

这是为什么呢?我们从数学的角度来简单分析一下:只考虑二维情况,假如等势面方程是$U(x,y)=C$,那么两边微分就有
$$0=dU=\frac{\partial U}{\partial x}dx+\frac{\partial U}{\partial y}dy=(\frac{\partial U}{\partial x},\frac{\partial U}{\partial y})\cdot (dx,dy)$$

这意味着向量$(\frac{\partial U}{\partial x},\frac{\partial U}{\partial y})$和向量$(dx,dy)$是垂直的,前者便是力的函数,后者就是一个切向量(三维就是一个切平面)。也就是说合外力必然和流体面垂直,这样才能提供一个相等的方向相反的内力让整个结构体系处于平衡状态!

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