二体运动.gif
上一回的讨论中,我们已经解决了大部分的问题,并且表达了找到r或者$\theta$关于时间t的函数的希望。在最后的内容中,我们做了以下工作:

由(7)得到$\dot{\theta}=h/r^2$,代入(6)得到:
$\ddot{r} -h^2/r^3=-\frac{\mu}{r^2}$——(10)
这是一个二阶微分方程,它的解很容易找出,但是这个积分太复杂:
$\dot{r}\frac{d\dot{r}}{dr}=h^2/r^3-\frac{\mu}{r^2}$
$\dot{r}d\dot{r}=(h^2/r^3-\frac{\mu}{r^2})dr$,两端积分
$\dot{r}^2={2\mu}/r-h^2/r^2+K_1$——(11)
$=>{dt}/{dr}=\frac{r}{\sqrt{K_1 r^2+2\mu r-h^2}}$
$t=\int \frac{r}{\sqrt{K_1 r^2+2\mu r-h^2}}dr$

最后一个积分并不难,可以查积分表算出,但是形式极其复杂,而且是t关于r的函数,代入t求r不方便,不适合我们用。但是(11)仍然是一个重要的积分,我们首先来尝试求出$K_1$。把一组实际数据代入,就可以求出$K_1$。取$r=a(1-e)$(即近日点),则$(\theta-\omega)=0$,而
$\dot{r}=\frac{dr}{d\theta}*\frac{d\theta}{dt}$
根据上一回的公式(9),我们可以得到:
$\frac{dr}{d\theta}=\frac{h^2//u}{[1+ecos(\theta-\omega)]^2}*e sin(\theta-\omega)$
由于取$(\theta-\omega)=0$,于是$\frac{dr}{d\theta}=0 =>\dot{r}=0$,以这个结果代入(11),并将$h^2$换成$\mu a(1-e^2)$,化简后得到:
$K_1=-\frac{\mu}{a}$
于是(11)式变为:$\dot{r}^2={2\mu}/r-{\mu a(1-e^2)}/r^2-\frac{\mu}{a}$——(12)

在导出开普勒方程之前,我们先来做一些准备工作。其中包括导出“开普勒第三定律”以及“线速度”的公式。

如果行星的轨道为椭圆,根据之前的关于开普勒第一、第二定律的推导,我们得到h实质是面积速度的两倍,在一个周期T之内,扫过了一个椭圆面积$S=\pi ab=\pi a^2\sqrt{1-e^2}$,于是h可以表示成:
$h=\frac{2\pi a^2\sqrt{1-e^2}}{T}$
结合$h^2=\mu a(1-e^2)$,可以得到
$\frac{a^3}{T^2}=\frac{\mu}{4\pi^2}=\frac{G(M+m)}{4\pi^2}$——(13)

这就是开普勒第三定律。其中太阳质量M是一定的,但是对于太阳系内的各个行星的质量m是不一定的,所以严格来讲开普勒第三定理并不成立。但是由于由于m相对于M很少,在很大程度上可以忽略这个微小的差别,所以我们开普勒第三定律仍然被我们广泛使用!

现在我们来推出“线速度”公式。根据勾股定理,我们有
$x^2+y^2=r^2$
两边连续微分对时间t微分两次,得到
$\dot{x}^2+\dot{y}^2+x\ddot{x}+y\ddot{y}=\dot{r}^2+r\ddot{r}$
其中$\dot{x}^2+\dot{y}^2$即为速度的平方$v^2$,而根据二体问题的微分方程组,有
$x\ddot{x}+y\ddot{y}=-(\frac{\mu x}{r^3}x+\frac{\mu y}{r^3}y)=-{\mu}/r$,和(12)式的结果同时代入上式,得到:
$v^2=\mu(2/r-1/a)$——(14)
这就是线速度的公式,被称为“活力积分”或者“活力公式”,它是能量(机械能)守恒定律的体现,表明星体的动能与势能之和恒定。在天文奥赛中,能够熟练应用这一公式,可能给我们带来很大的方便。

现在来到我们的重点了,我们要推导出被称为“开普勒方程”的东西。其实也不难,根据(12),我们可以得到:
$\sqrt{\frac{\mu}{a^3}}dt=\frac{rdr}{a\sqrt{a^2 e^2-(a-r)^2}}$
熟悉微积分的朋友,应该立马会想到,对于这种“根号里面含有平方和或差”的积分,一般用三角函数进行换元。我们令$a-r=ae cosE$,则可以化简成:
$\sqrt{\frac{\mu}{a^3}}dt=(1-e cosE)dE$
两边积分便得:$\sqrt{\frac{\mu}{a^3}}t=E-e sinE+K_2$
是不是有一种兴奋的感觉了?是的,开普勒方程的“雏形”已经出现了。按照刚才的思路,将近日点的数据代入上式以求出$K_2$。当$r=a(1-e)$时,$t=0 =>E=0$,于是求得$K_2=0$。

另外,根据(13),我们可以将$\sqrt{\frac{\mu}{a^3}}$变成${2\pi}/T$,并令$M={2\pi}/T t$称为“平近点角”,于是开普勒方程出来了:
$E=M+e sinE$——(15)
天体力学中把E叫做“偏近点角”,$f=(\theta-\omega)$叫做“真近点角”

在原来的天体力学教程中,还推导出了一条这样的公式:$tg \frac{f}{2}=\sqrt{\frac{1+e}{1-e}}tg \frac{E}{2}$。不过就我看来,这条公式毫无必要。我们大可以求出E,然后求出r,继而根据(9)求出f.

工作是不是完成了?还没有,这条公式只能够用于椭圆,别忘了在抛物线中$e=1,a->\infty$,这样开普勒方程就不能用了。在双曲线中a的取值为负数,那么开普勒第三定律也不适用了,所以又有其他形式。另外,关于开普勒方程的求解等等之类的问题,BoJone也有了自己的一点新的结果。不过这些,得下回分解了(写越懒了)


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