一枚炮弹以速度$v_0$向上射出,只考虑重力因素,请问炮弹到达多远的距离后就会开始自由下落?

大炮的发射.jpg

对于这个问题,我们首先采取的是高中生的做法。考虑地球重力,也就是说炮弹在做加速度为-g(-9.8m/s2)的匀变速运动。根据公式$v_t^2-v_0^2=2as$,可得$s=\frac{v_0^2}{2g}$。
此即炮弹能够走得最远距离。

但是看了这条式子,我们会发现,这个“距离”始终是有限的。换一句话说,只要$v_0$不趋于无穷大,s就不会无穷大。但是我们还听到过牛顿这样说过:假如炮弹以某个速度(就是我们现在所所说的第二宇宙速度)飞离地球,它就永远不会回来了。两者不是矛盾吗?

看了之前我写的这篇文章的朋友,也是马上就有头绪了。这个加速度a并不是恒定的。恭喜你,答对了!但具体的情况是怎样的呢?请继续往下看——

设炮弹的路程为s,则在运动过程中:
$s''=v'=-\frac{GM}{(r+s)^2}$

令$s''=v \frac{dv}{ds}$,代入(这个过程是多么的熟悉)
$vdv=-GM(r+s)^{-2} ds$
两端积分:$\int vdv=\int -GM(r+s)^{-2} ds$
$\frac{1}{2} v^2=GM(r+s)^{-1} +C$
下面的处理有些不同:
当$v=v_0$时,有s=0,则
$C=\frac{1}{2} v_0^2 - GMr^{-1}$
得出:$v^2=v_0^2+2GM[(r+s)^{-1}-r^{-1}]$
炮弹走最远即当v=0时的s的值。于是有$0=v_0^2+2GM[(r+s)^{-1}-r^{-1}]$
$s=\frac{v_0^2 r^2}{2GM-v_0^2 r}$————(A)

其中又有$GM=r^2 g$,g是1kg物体在地球表面所受到的重力,代入
$s=\frac{v_0^2 r}{2rg-v_0^2}=\frac{v_0^2}{2g-\frac{v_0^2}{r}}$

若$\frac{v_0^2}{r}$很小,则可以忽略,得到低速近似的伽利略公式:$s=\frac{v_0^2}{2g}$ 这与文章开头的结果是一致的。

我们发现,当$v=\sqrt{\frac{2GM}{r}}$时,就会出现分母为0的情况,也就是说$s->\infty$,这时也就是牛顿所说的一去不复返(只是不复返回地球)。于是我们就自然而然地推导出了第二宇宙速度!$v=\sqrt{\frac{2GM}{r}}$

Yeah!欢呼吧!科学应该要这样,尽管一点的成就,也应该雀跃。但是记住,不要沾沾自喜!


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