跳伞过程中的自由落体阶段.jpg
之前在这篇文章中,我们使用过一个牛顿引力场中的自由落体公式:
$t=\sqrt{\frac{r_0}{2GM}}{r_0 \cdot arctg \sqrt{\frac{r_0 -r}{r}}+\sqrt{r(r_0 -r)}}$——(1)

我们来尝试一下推导出这个公式来。同时,站长在逐渐深入研究的过程中,发现微分方程极其重要。以前一些我认为不可能解决的问题,都用微分方程逐渐解决了。在以后的文章里,我们将会继续体验到微分方程的伟大魔力!因此,建议各位有志研究物理学的朋友,一定要掌握微分方程,更加深入的,需要用到偏微分方程!

首先,质量为m的物理在距离地心r处的引力为$\frac{GMm}{r^2}$,根据牛顿第二定律F=ma,自然下落的物体所获得的加速度为$\frac{GM}{r^2}$。假设物体从距离地心r开始向地心自由下落,求位移s关于t的函数s=s(t).

根据根据加速度的定义,我们有:$\frac{d^2 s}{dx^2}=a=\frac{GM}{r^2}$,于是问题实质就是解常微分方程$s''=\frac{GM}{(r-s)^2}$。

接着我们令$s'=v$,则$s''=v(\frac{dv}{ds})$,代入上式:
$GM(r-s)^{-2} ds=vdv$,两端积分:
$\int vdv = \int GM(r - s)^{ - 2} ds = - \int GM( r - s)^{ - 2}d(r - s)$
$\frac{1}{2} v^2 = GM[(r - s)^{ - 1} + C_1]$

根据实际情况,当t=0时,v=s=0,推出$C_1=-r^{-1}$,即
$\frac{1}{2}v^2 = GM[(r - s)^{ - 1} - r^{ - 1}]$
$\frac{ds}{dt} = v = \sqrt {\frac{2GM}{r}} \sqrt {\frac{s}{r - s}} $
两端积分:
$\int dt = \sqrt {\frac{r}{2GM}} \int (\sqrt {\frac{r - s}{s}} )ds =2\sqrt {\frac{r}{2GM}} \int (\sqrt {r - s} )d(s^{0.5}) $

令$s^{0.5}=P$,则$2\int (\sqrt {r - s} )d(s^{0.5}) =2\int (\sqrt {r - p^2} )dp$
根据积分公式:$\int \sqrt{a^2-x^2} dx ={a^2}/2 arcsin \frac{x}{a} +x/2 \sqrt{a^2-x^2}+C$,得出
$2\int (\sqrt {r - p^2} )dp=r*arcsin \frac{p}{\sqrt{r}}+p \sqrt{r-p^2}+C$
换回s,有:
$2\int (\sqrt {r - s} )d(s^{0.5}) =r*arcsin \sqrt{\frac{s}{r}}+\sqrt{s(r-s)}+C$
则:
$t=\sqrt{\frac{r}{2GM}}[r*arcsin\sqrt{\frac{s}{r}}+\sqrt{s(r-s)}+C]$
当s=0时,t=0,则C=0,得出:
$t=\sqrt{\frac{r}{2GM}}[r*arcsin\sqrt{\frac{s}{r}}+\sqrt{s(r-s)}]$
而根据反三角函数公式:$arcsin \frac{a}{b}=arctg\sqrt{\frac{a^2}{b^2-a^2}}$,即得
$t=\sqrt{\frac{r}{2GM}}[r*arctg\sqrt{\frac{s}{r-s}}+\sqrt{s(r-s)}]$————(2)

不难看出,(1)(2)两式是等价的


转载到请包括本文地址:http://kexue.fm/archives/337/

如果您觉得本文还不错,欢迎点击下面的按钮对博主进行打赏。打赏并非要从中获得收益,而是希望知道科学空间获得了多少读者的真心关注。当然,如果你无视它,也不会影响你的阅读。再次表示欢迎和感谢!