在数学分析的级数理论中,有一类常见的题目,其中涉及到
$$\cos\theta+\cos 2\theta+\dots+\cos n\theta\tag{1}$$

$$\sin\theta+\sin 2\theta+\dots+\sin n\theta\tag{2}$$
之类的正弦或者余弦级数的求和,主要是证明该和式有界。而为了证明这一点,通常是把和式的通项求出来。当然,该级数在物理中也有重要作用,它表示$n$个相同振子的合振幅。在我们的数学分析教材中,通常是将级数乘上一项$\sin\frac{\theta}{2}$,然后利用积化和差公式完成。诚然,如果仅限在实数范围内考虑,这有可能是唯一的推导技巧的。但是这样推导的运算过程本身不简单,而且也不利于记忆,在大二的时候我就为此感到很痛苦。前几天在看费曼的书的时候,想到了一种利用复数的推导技巧。很奇怪,这个技巧是如此简单——写出来显得这篇文章都有点水了——可是我以前居然一直没留意到!看来功力尚浅,需多多修炼呀。

有时候,一次性计算更多的东西,往往比单一计算一部分更加快捷,让我们同时来考虑$(1)$和$(2)$,我们计算
$$\cos\theta+\cos 2\theta+\dots+\cos n\theta+i\left(\sin\theta+\sin 2\theta+\dots+\sin n\theta\right)$$
利用欧拉公式,上式也就是
$$e^{i\theta}+e^{2i\theta}+\dots+e^{ni\theta}$$
这只是等比级数求和!易得
$$e^{i\theta}\left(\frac{e^{ni\theta}-1}{e^{i\theta}-1}\right)=e^{(n+1)i\theta /2}\left( \frac{e^{ni\theta /2} - e^{ - n i\theta /2}}{e^{i\theta /2} - e^{ - i\theta /2}} \right)$$
括号里的结果也就是
$$\frac{\sin\frac{n\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}}$$
所以总的结果也就是
$$\left(\cos\frac{(n+1)\theta}{2}+i\sin\frac{(n+1)\theta}{2}\right)\frac{\sin\frac{n\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}}$$
根据实部和虚部相等的原则,就有
$$\cos\theta+\cos 2\theta+\dots+\cos n\theta=\cos\frac{(n+1)\theta}{2}\frac{\sin\frac{n\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}}$$

$$\sin\theta+\sin 2\theta+\dots+\sin n\theta=\sin\frac{(n+1)\theta}{2}\frac{\sin\frac{n\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}}$$

整个过程多么简洁,几乎一气呵成。里边也不是什么精湛神秘的技巧,所以特别奇怪,怎么我现在才注意到?

类似地,也可以得出
$$\cos(\omega+\theta)+\cos(\omega+2\theta)+\dots+\cos (\omega+n\theta)$$
的求和公式(仅仅是多乘了一个相位因子~~)


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