由于自行车之旅的原因,这篇文章被搁置了一个星期,其实应该在一个星期前就把它写好的。这篇文章继续讲讲费曼积分法的一些例子。读者或许可以从这些不同类型的例子中,发现它应用的基本方向和方法,从而提升对它的认识。

例子2:

$\int_0^{\infty} \frac{sin x}{x}dx$

这也是一种比较常见的类型,它的形式为$\int \frac{f(x)}{x}dx$,对于这种形式,我们的第一感觉就是将其改写成参数形式$\int \frac{f(ax)}{x}dx$,这样的目的很简单,就是把分母给消去了,与$\int \frac{x}{f(x)}dx$的求积思想是一致的。但是深入一点研究就会发现,纵使这样能够消去分母,使得第一次积分变得简单,但是到了第二次积分的时候,我们发现,它又会变回$\int \frac{f(x)}{x}dx$的积分,使我们不能继续进行下去,因此这个取参数的方法大多数情况下都是不行的。

有一个神奇的方法,让我们将其变换成:

$G(a)=\int_0^{\infty} e^{-ax}\frac{sin x}{x}dx$

$f(x,a)=e^{-ax}\frac{sin x}{x}$

这样我们在原来的基础上增加了一块$e^{-ax}$,其作用也是让我们把分母给消去了,因为

$\frac{\partial f(x,a)}{\partial a}=-e^{-ax} sin x$

所以
$G'(a)=\int_0^{\infty} -e^{-ax} sin x dx$
$=\frac{1}{a^2+1} e^{-ax}(a sin x+cos x)|_0^{\infty}$
$=-\frac{1}{a^2+1}$
指数函数《积分表》

最后得到
$G(a)=-\int \frac{1}{a^2+1} da=-arctan a +C$

当$a\to \infty$时,$f(x,a)=0$,$G(a)=0$,得到$C=\frac{\pi}{2}$。最终的结果是

$\int_0^{\infty} e^{-ax}\frac{sin x}{x}dx=-arctan a+\frac{\pi}{2}$

所以
$\int_0^{\infty} \frac{sin x}{x}dx=G(0)=\frac{\pi}{2}$

例子3:

在费曼所看的《高等微积分》中,有一个很典型的例子,它的求解过程结合了微分方程的知识。

已知$\int_0^{\infty} e^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$,求积分:$u=\int_0^{\infty} e^{-x^2-\frac{a^2}{x^2}}dx$

这个积分已经给出了参数a,我们不妨直接对该参数求导,看看会发生什么?

$\frac{du}{da}=\int_0^{\infty} \frac{\partial (e^{-x^2-\frac{a^2}{x^2}})}{\partial a}dx$
$=2\int_0^{\infty} e^{-x^2-\frac{a^2}{x^2}}d(\frac{a}{x})$

令$t=\frac{a}{x}$,则变成了
$\int_0^{\infty} e^{-x^2-\frac{a^2}{x^2}}d(\frac{a}{x})=-\int_0^{\infty} e^{-t^2-\frac{a^2}{t^2}}dt$

这个积分的形式和所求积分的形式完全一样,因为变量的符号(x,t)只是一个记号,积分本身和变量的符号无关,因此我们有把握地说
$\int_0^{\infty} e^{-t^2-\frac{a^2}{t^2}}dt=u$

总的来说:$\frac{du}{da}=-2u$

解得:$u=C \times e^{-2a}$,利用给出的已知条件,可以确定常数$C=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$,所以

$\int_0^{\infty} e^{-x^2-\frac{a^2}{x^2}}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2} \times e^{-2a}$

小结

费曼积分法的变换形式多种多样,捉摸不定,需要在实际应用中敢想、敢试,而且时常需要“灵光一现”,才能妙笔生花!也许正是它的这种灵活性,因此通常有意想不到的惊喜等着我们,或者正是这个原因,费曼对它情有独钟。


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