科学空间|Scientific Spaces

军训是比较辛苦，可是总有一些无聊的时刻。比如我们每次集合后的第一件事基本上都是站军姿，少则五分钟，长则二三十分钟，在这段时间里，头脑总得找点东西想才行，不然一动不动的，非常难熬。我就是在军训那些无聊的时刻里通过想数学问题来度过的。比如一有空余时间，我的头脑就浮现着级数$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+...+\frac{1}{p}$、哥德巴赫猜想、稳定性问题啦等等，并不是说要做出什么大发现，只是为了渡过无聊时间，也是对自己的思维能力和想象能力的锻炼吧。

之前提到过，昨天我们的“格斗方阵”去大学城表演了。在去大学城的过程中，我的一位“战友”问了我一个这样的问题：

在一个相互握手的人群中，握手奇数次的人总是有偶数个。每两个人可以握多于一次的手

他还说这是爱因斯坦提问的。这可把我的兴致给调动起来了。（后来我在网上搜索，却发现不了这个问题跟爱因斯坦的任何联系...）下边是我的颇有戏剧性的思考过程。

人群的握手问题

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其中前六题是选择题，具体情况记不起来了，其实也是挺简单的。不过有兴趣的朋友可以在本文的PDF附件查阅到试题（来自“空念远兮”数学网站）。

对了这个PDF文件的参考答案之后，BoJone发现我的选择题全对。而后三道大题我只做了最后两道，解法也和PDF中的不大一样，在此写出来与大家讨论。

1、求证：内角相等的圆内接五边形是正五边形。

这道题是我在最后十五分钟做出来的。一开始想到很多复杂的定理方法，后来发现它可以很简单证明。

如图是一个满足题目条件的五边形。

五边形

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欧拉数学的魅力在于，它运用类比的方法，把各个看似毫无关联的领域联系了起来，生动而巧妙地得出了正确的结果。他对$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...=\frac{\pi^2}{6}$的计算便是一个典型的例子。虽然论证过程未必严谨，但是那“神奇”的推导已经令我们拍案叫绝，而且往往发人深思。这种效果通常是严格论证难以实现的，它不仅给予我们答案，而且还给予了我们启迪：新的思想，新的方向；有时，它还揭示了各个学科之间内在而深刻的联系。下面我们来观察一下数论中的“黎曼ζ函数”和“金钥匙”！

黎曼ζ函数指的是：
$$\xi (s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}=\frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+...$$
本来s应该是一个实数，但是将复分析引入数论后，将s推广至复数具有更大的研究价值。

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素数是数的基本单元，就如同高楼大厦中的砖块一样。显然，素数有无穷多个是数论研究价值的前提。不然，数的研究就局限在有限个素数之内，那么很多数字就会失去了它们的魅力。就好比只有有限块砖头，就不能创建出建筑的奇迹一般。下面介绍两个关于素数无穷的经典证明，其中一个是欧几里得的证明，这是最原始、最简单的证法，相信很多读者已经学习过了，在此还是要提一下；另外一个是我在《怎样解题》中看到的，原作者是欧拉，也是一个非常美妙的证明。当然，本文强调的思想，论证过程可能会有一些不严谨的地方，请读者完善^_^

一、欧几里得证明

这个证明思想非常简单：若干个素数的积加上1后会产生新的素数因子。要是素数只有n个，那么我们就把它们相乘，然后加上1，得到的将会是什么呢？如果是一个素数，那么将会与素数只有n个矛盾；如果是一个合数，它除以原来的n个素数都不是整数，那么它就会拥有新的素数因子了，这还是和只有n个素数矛盾。不论哪种情况，只有素数有限，就会得出矛盾，于是素数必然是无限的。

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这是一道来自“数联天地”的题目：

三边长均为整数的三角形，周长为1000，其中一个内角是另外一个内角的两倍。求三边长度

咋看上去这是一道几何题目，但实际上这是一道初等数论题，而且主要是不定方程问题。类似的题目在数学竞赛中其实有可能出到，在这里和大家探讨一番。话说回来，其实笔者小时候很喜欢数论方面的内容的，在小学和初中，经常围绕着“素数”、“完全数”、“亲和数”、“大数分解”等等名词钻研看书。现在学习了微积分等内容之后，兴趣逐渐转向了实用性较强的数学，因而数论内容的水平不高，大家见笑了。

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