素数是数的基本单元，就如同高楼大厦中的砖块一样。显然，素数有无穷多个是数论研究价值的前提。不然，数的研究就局限在有限个素数之内，那么很多数字就会失去了它们的魅力。就好比只有有限块砖头，就不能创建出建筑的奇迹一般。下面介绍两个关于素数无穷的经典证明，其中一个是欧几里得的证明，这是最原始、最简单的证法，相信很多读者已经学习过了，在此还是要提一下；另外一个是我在《怎样解题》中看到的，原作者是欧拉，也是一个非常美妙的证明。当然，本文强调的思想，论证过程可能会有一些不严谨的地方，请读者完善^_^

一、欧几里得证明

这个证明思想非常简单：若干个素数的积加上1后会产生新的素数因子。要是素数只有n个，那么我们就把它们相乘，然后加上1，得到的将会是什么呢？如果是一个素数，那么将会与素数只有n个矛盾；如果是一个合数，它除以原来的n个素数都不是整数，那么它就会拥有新的素数因子了，这还是和只有n个素数矛盾。不论哪种情况，只有素数有限，就会得出矛盾，于是素数必然是无限的。

二、欧拉经典

这个证明需要做一些准备工作。它的思想是：等比数列+生成函数。

首先，我们有公式$S(p)=1+p^{-1}+p^{-2}+...+p^{-n}=\frac{1-p^{-n-1}}{1-p^{-1}}$，这是等比数列的求和公式，当$|p| > 1,n\to \infty$时，$p^{-n-1} \to 0$我们有：
$$S(p)=\sum_{n=0}^{\infty} p^{-n}=\frac{1}{1-p^{-1}}=\frac{p}{p-1}$$

下面我们尝试将p遍取所有的素数，即2,3,5,7,...，并将各S(p)相乘，得到（记为K）：
$$\begin{aligned}K=S(2)\cdot S(3)\cdot S(5)... \\ =(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}...)(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}...)(1+\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{5^3}...)... \\ =\frac{2}{2-1}\cdot \frac{3}{3-1}\cdot \frac{5}{5-1}\cdot ...\end{aligned}$$

K有什么特别的地方呢？注意到这里各素数的幂都相互乘了一次，这和自然数的产生是一样的：把若干个素数的幂相乘，就可以得到任意自然数。于是我们就可以（并非毫无根据地）写出：
$$K=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...$$

根据我们知道级数$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...$是发散的，所以素数不可能只有有限个，因为$K=\frac{2}{2-1}*\frac{3}{3-1}*\frac{5}{5-1}*...$，要是素数只有有限个的话，那么这个乘积必然也是有限的，这会导致矛盾。所以素数无限。

三、和素数定理的一丝联系

素数定理告诉我们，不大于n的素数的个数$\pi(n)$约等于$\frac{n}{ln n}$。

而由上面的讨论我们得到：
$$K=\frac{2}{2-1}\cdot \frac{3}{3-1}\cdot \frac{5}{5-1}\cdot ...=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...$$

而由微积分可以证明，第二个等号右边的部分，即$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...+\frac{1}{n}$可以近似表示为$ ln n$，那么把式子倒过来，就可以得到：
$$\frac{2-1}{2}\cdot \frac{3-1}{3}\cdot \frac{5-1}{5}\cdot ...\approx \frac{1}{ln n}$$

而对于n很大时，不大于n的偶数显然约等于$n/2$，剩下的$n/2$个奇数中，3的倍数约等于$1/3$，所以非3倍数约等于$n*1/2*2/3$，剩下的数字中，非5倍数显然会约等于$n*1/2*2/3*4/5$，依此类推，得到
$$\pi(n) \approx n\cdot 1/2\cdot 2/3\cdot 4/5\cdot 6/7\cdot ... \approx \frac{n}{ln n}$$

当然，这个压根儿就不算什么证明，顶多是一个勉强而幸运地成功的推理。不过虽然经不起严格的逻辑的考验，但作为一个初等的思考的欣赏，也是相当有趣的^_^

转载到请包括本文地址：https://kexue.fm/archives/1484

更详细的转载事宜请参考：《科学空间FAQ》

如果您还有什么疑惑或建议，欢迎在下方评论区继续讨论。

如果您觉得本文还不错，欢迎分享/打赏本文。打赏并非要从中获得收益，而是希望知道科学空间获得了多少读者的真心关注。当然，如果你无视它，也不会影响你的阅读。再次表示欢迎和感谢！

如果您需要引用本文，请参考：

苏剑林. (Oct. 02, 2011). 《[欧拉数学]素数有无穷多个的两个证明 》[Blog post]. Retrieved from https://kexue.fm/archives/1484

@online{kexuefm-1484,
        title={[欧拉数学]素数有无穷多个的两个证明},
        author={苏剑林},
        year={2011},
        month={Oct},
        url={\url{https://kexue.fm/archives/1484}},
}