在学车的时候，我堂大哥曾问我一道作圆的问题：
三圆的外切圆和内切圆 (1)
平面上给出三个两两相切的圆以及它们的圆心，求作一个圆与这三个圆都相切（尺规作图）。
如果从纯几何的途径入手，我们甚至很难判断这样的圆是否存在。但是我之前似乎已经看过类似的题目，于是很快想到一个名词：反演。反演可以将圆反演成直线（圆过反演点），也可以将圆反演成圆（圆不过反演点），而其他的相切、相交等关系保持不变。对反演后的图形进行相同的反演，就变回原来的图形。本题的难点在于圆太多，利用反演，我们可以将它变为两条直线和一个圆的问题。
假设读者已经有了反演的基本知识，如果没有，请到
http://zh.wikipedia.org/wiki/反演
阅读相关内容。
30
Jan
三个相切圆的公切圆:补充
By 苏剑林 | 2014-01-30 | 26830位读者 | 引用
1
Jul
勾股数的通解及其推广
By 苏剑林 | 2014-07-01 | 21418位读者 | 引用在之前的文章《几何的数与数的几何：超复数的浅探究》中，我们谈及过四元数。四元数源于把复数的$|(a+bi)(c+di)|=|a+bi|\times|c+di|$这一独特的性质进行高维推广。为什么偏爱这一性质？读者或许已经初步知道一些用到复数的这一性质的例子，有几何方面的，也有物理方面的，这一性质为处理模长相关问题带来了美妙的方便。本文介绍它在求三元二次齐次不定方程的整数通解中的应用，这一例子同样展示了复数这一性质的神奇，让我们不得不认同当初哈密顿为了将其推广到高维而不惜耗费十年光阴的努力。
勾股数问题
读者或许已经知道，勾股数，也就是满足
$$x^2+y^2=z^2$$
的所有自然数解，由下面公式给出
$$x=a^2-b^2,\quad y=2ab,\quad z=a^2+b^2$$
9
Aug
素数之美2：Bertrand假设的证明
By 苏剑林 | 2014-08-09 | 22927位读者 | 引用有了上一篇文章的$\prod\limits_{p\leq n}p < 4^{n-1}$的基础，我们其实已经很接近Bertrand假设的证明了。Bertrand假设的证明基于对二项式系数$C_n^{2n}$的素因子次数的细致考察，而在本篇文章中，我们先得到一个关于素数之积的下限公式，然后由此证明一个比Bertrand假设稍微弱一点的假设。最后，则通过一个简单的技巧，将我们的证明推动至Bertrand假设。
二项式系数的素因子
首先，我们考察$n!$中的素因子$p$的次数，结果是被称为Legendre定理的公式：
$n$中素因子$p$的次数恰好为$\sum\limits_{k\geq 1}\left\lfloor\frac{n}{p^k}\right\rfloor$。
证明很简单，因为$n!=1\times 2\times 3\times 4\times \dots \times n$，每隔$p$就有一个$p$的倍数，每隔$p^2$就有一个$p^2$的倍数，每隔$p^3$就有一个$p^3$的倍数，每增加一次幂，将多贡献一个$p$因子，所以把每个间隔数叠加即可。注意该和虽然写成无穷形式，但是非零项是有限的。
19
Aug
从费马大定理谈起（五）：n=4
By 苏剑林 | 2014-08-19 | 90460位读者 | 引用
19
Aug
从费马大定理谈起（六）：n=4（2）
By 苏剑林 | 2014-08-19 | 26500位读者 | 引用在上一篇文章中，笔者提到似乎证明n=4时必须要证明$x^4+y^4=z^2$无解而不能只证明$x^4+y^4=z^4$无解。不过，在今天中午研究的时候，笔者发现了另外一个n=4的证明，它同样是在$\mathbb{Z}[i]$中，但是，证明的则是指数全是4的形式，但是，又不单单是$x^4+y^4=z^4$的形式，而是$\varepsilon x^4+y^4=z^4$，$\varepsilon$是单位数。这个证明过程，我觉得应该更接近n等于其他奇素数时的证明，遂补充了这篇文章，供大家参考。读者可以对比着上一篇文章进行比较阅读。
引理
用$\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3,\varepsilon$表示$\mathbb{Z}[i]$中的单位数，下面先证明
如果方程$\varepsilon_1 x'^4 +\varepsilon_2 y'^4+\varepsilon_3 z'^4=0$在$\mathbb{Z}[i]$中有全不为0的解，那么在经过适当的化简和整理之后，方程必有形式$\varepsilon x^4+y^4=z^4$，其中$(x,y,z)$是$(x',y',z')$的某个置换，$\xi^2|x$。
23
Aug
从费马大定理谈起（七）：费马平方和定理
By 苏剑林 | 2014-08-23 | 30060位读者 | 引用本想着开始准备n=3的证明，但这需要引入Eisenstein整数的概念，而我们已经引入了高斯整数，高斯整数的美妙还没有很好地展示给读者。从n=4的两个证明可以知道，引入高斯整数的作用，是把诸如$z^n-y^n$的式子进行完全分解。然而，这一点并没有给我们展示多少高斯整数的神奇。读者或许已经知道，复分析中很多简单的结果，如果单纯用实数描述出来，便会给人巧夺天工的感觉，在涉及到高斯整数的数论中也是一样。本文就让我们来思考费马平方和定理，以此再领会在高斯整数中处理某些数论问题时的便捷。——我们从费马大定理谈起，但又并不仅仅只谈费马大定理。
费马平方和定理：奇素数$p$可以表示为两个整数的平方和，当且仅当该素数具有$4k+1$的形式，而且不考虑相加顺序的情况下，表示法是唯一的。
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