科学空间|Scientific Spaces

七月再次“农忙”，农村里要插秧了，播下种苗，等待再次收获的季节^_^

我一直觉得我的数学能力偏向于分析计算而不擅长于几何，纵使遇到几何问题，也是满脑子的解析几何做法，没有纯几何的美。而这几天为了加强数学竞赛题目的能力，我一直在看IMO的题目，并且企图独立做出一些题目，但都无果。我比较感兴趣的是不等式，我感觉一道简单的式子，不用太多的文字就可以讲清楚的题目非不等式莫属，但是IMO的不等式题实在高深，我还没有能够独立做出一道来（参考答案可以看懂，只是想不到思路），或许是我在努力追求统一的方法而不肯研究那些特定的技巧的原因吧。不料今天看了一下2001年IMO的几何题目，发现我可能将它做出来，于是研究了一会，最终很幸运地做了出来。虽然不是最简单的方法，但也与大家分享一下。

IMO-42-1

如图，O是锐角三角形ABC的外心，AP是三角形的垂线段，∠B-∠C不小于30°。证明∠BAC+∠BOP < 90°

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这是一个古老而有趣的问题，但在引入这个问题之前，我们首先来看一个简单的问题：

整数边直角三角形的面积能否为一个完全平方数？

答案是不能。我们可以举一些例子来检验一下，例如边长为3,4,5的直角三角形面积为6，6不是一个平方数；再如边长为5,12,13的直角三角形面积为30，30也不是一个平方数...当然，数学的最近目的是要求严格证明，而不是简单举例，否则就只得称为不完全归纳，这样得出来的是一个猜想，而不是“定理”，就好象著名的“哥德巴赫猜想”...本文我们将试图证明这个命题。

我们稍后还会发现，这个问题和以下问题是等价的：
是否存在一个面积为1的三边长都是有理数的直角三角形？

更让人意外的是，这个问题也等价于方程$x^4+y^4=z^4$并没有整数解，换句话说，我们要证明n=4时的“费马大定理”！

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印象中我在初一曾从一个美术生好朋友那里学到了一个画椭圆的方法：选取一个矩形，取一组邻边的中点，连接并切除得到的三角形；在剩下的五边形中，继续取邻边中点，连接，切除，得到一个如下图的图形；然后作一个尽可能与下图AG、GH、HI、IJ相切的弧，这个弧就大概为四分之一的椭圆了。

椭圆的美术画法

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昨晚九点十六分（据说准确时间是2011年9月29日21时16分03.507秒），天宫一号升空！

天宫一号发射

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16日开考。我们15日出发，坐了将近五个小时的车到惠州（第八中学）参加考试。然而让我很无奈的是，虽然之前做了一定准备，这次考试发挥出奇的差，所以，拿奖只是个梦...^_^

后来才发现，我很悲剧地考了A卷，再看一下B卷的题目，发现那更合我胃口，更无语了...难道是运气在上一年用光了？

其实物理竞赛更适合我，只是那偏远的地方连资格都被忽略了...

不再说什么了，还是老老实实在科学空间与大家分享、讨论科学问题更开心。

下面附上今年的联赛题目：

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上一篇文章我通过欧拉数学的方式简单地讲了数论中的“黎曼ζ函数”和“金钥匙”。事实上，这把“金钥匙”与很多问题之间的联系已经被建立了起来，换句话说，“金钥匙”已经插入到了相应的“锁孔”中，数学家的工作就是要把这个金钥匙“拧动”，继而打开数学之门！

接下来我们看看如何证明所有素数的倒数之和发散的。在入正题之前，我们得需要看一个引理：

无限数列${a_n}$的每一项都大于0，那么$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$与$\prod\limits_{n=1}^{\infty} \left(1+a_n\right)$的敛散性相同。换句话说，两者互为充分必要条件！

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BoJone祝全天下的人都开开心心一辈子！事事如意一生！

这是科学空间第三个年头了。BoJone愿与各位走过更多的日子！

加油！

招财童子2012

其中前六题是选择题，具体情况记不起来了，其实也是挺简单的。不过有兴趣的朋友可以在本文的PDF附件查阅到试题（来自“空念远兮”数学网站）。

对了这个PDF文件的参考答案之后，BoJone发现我的选择题全对。而后三道大题我只做了最后两道，解法也和PDF中的不大一样，在此写出来与大家讨论。

1、求证：内角相等的圆内接五边形是正五边形。

这道题是我在最后十五分钟做出来的。一开始想到很多复杂的定理方法，后来发现它可以很简单证明。

如图是一个满足题目条件的五边形。

五边形

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