将多项式分解为两个不可约多项式之和
By 苏剑林 | 2014-12-22 | 38126位读者 | 引用在高等代数的多项式一章中,通常会有这样的一道练习题:
证明任意有理数域上的多项式都能够表示为两个有理数域上的不可约多项式之和。
这是道简单的练习题,证明方法有多种。首先来介绍一个巧妙的证法。
一个巧妙证明
有理数域上的多项式问题等价于整数域上的多项式问题,因此,只需要对整数域上的多项式进行证明(这步转换使得我们可以使用艾森斯坦判别法)。设$f(x)$是整数域上的一个$n$次多项式:
$$f(x)=a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\dots+a_1 x+a_0$$
我们只需要注意到
$$p f(x)=\left[p f(x)+x^n+p\right]-(x^{n}+p)$$
有趣的求极限题:随心所欲的放缩
By 苏剑林 | 2015-03-28 | 44274位读者 | 引用昨天一好友问我以下题目,求证:
$$\lim_{n\to\infty} \frac{1^n + 2^n +\dots + n^n}{n^n}=\frac{e}{e-1}$$
将解答过程简单记录一下。
求解
首先可以注意到,当$n$充分大时,
$$\frac{1^n + 2^n +\dots + n^n}{n^n}=\left(\frac{1}{n}\right)^n+\left(\frac{2}{n}\right)^n+\dots+\left(\frac{n}{n}\right)^n$$
的主要项都集中在最后面那几项,因此,可以把它倒过来计算
$$\begin{aligned}\frac{1^n + 2^n +\dots + n^n}{n^n}=&\left(\frac{1}{n}\right)^n+\left(\frac{2}{n}\right)^n+\dots+\left(\frac{n}{n}\right)^n\\
=&\left(\frac{n}{n}\right)^n+\dots+\left(\frac{2}{n}\right)^n+\left(\frac{1}{n}\right)^n\end{aligned}$$
海伦公式的一个别致的物理推导
By 苏剑林 | 2015-03-27 | 50573位读者 | 引用海伦公式是已知三角形三边的长度$a,b,c$来求面积$S$的公式,是一个相当漂亮的公式,它不算复杂,同时它关于$a,b,c$是对称的,充分体现了三边的同等地位。可是,这样具有对称美的公式推导,往往要经过一个不对称的过程,比如维基百科上的证明,这未免有点美中不足。本文的目的,就是想为此补充一个对称的推导。本文题目为“物理推导”,关键在于“推导”而不是“证明”,同时这里的“物理”并非是通过物理类比而来,而是推导的思想和方法很具有“物理味道”。
$$\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$
在推导开始之前,笔者给出一个评论:海伦公式似乎是由三边长求三角形面积的所有可能的公式之中最简单的一个。
It is time.
By 苏剑林 | 2015-05-24 | 53286位读者 | 引用终于可以缓一缓了~~
有留意科学空间的朋友可能发现这段时间更新比较缓慢,这一切还得从今年寒假说起...
今年一月底,由于各种原因,结合自己的兴趣,我找了一份实习工作,内容是Python编程。工作是在华南理工大学的论坛上发布的,说的比较简洁,我也比较简洁地投了简历过去,想不到收到回复了,也被录用了。二月上班,进去之后,才发现原来公司还是一家国内比较知名的电商企业,我的主要工作是数据挖掘...虽然我有一点Python的经验,但是数据挖掘基本上不在行的,所以只能够边工作边学习,疯狂恶补数据挖掘的知识。在这个过程中,我学会了很多关于数据挖掘的东西,要知道,在这之前,我不知道什么叫“特征”,什么是“逻辑回归”、“SVM”...那时候真是万千无知。
胡闹的胜利:将算子引入级数求和
By 苏剑林 | 2015-05-26 | 23549位读者 | 引用在文章《有趣的求极限题:随心所欲的放缩》中,读者“最近倒了”提出了一个新颖的解法,然而这位读者写得并非特别清晰,更重要的是里边的某些技巧似乎是笔者以前没有见过的,于是自行分析了一番,给出了以下解释。
胡闹的结果
假如我们要求级数和
$$\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\frac{A_k}{n^k}$$
这里$A_0=1$。一般而言,我们用下标来标注不同的数,如上式的$A_k,\,k=0,1,2,\dots$,可是有的人偏不喜欢,他们更喜欢用上标来表示数列中的各项,他们把上面的级数写成
$$\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\frac{A^k}{n^k}$$
可能读者就会反对了:这不是胡闹吗,这不是让它跟分母的n的k次幂混淆了吗?可是那人干脆更胡闹一些,把级数写成
$$\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\frac{A^k}{n^k}=\left(1+\frac{A}{n}\right)^n$$
看清楚了吧?他干脆把$A$当作一个数来处理了!太胡闹了,$A$是个什么东西?估计这样的孩子要被老师赶出课堂的了。
可是换个角度想想,似乎未尝不可。
【备忘】维基百科与DNSCrypt
By 苏剑林 | 2015-05-30 | 44576位读者 | 引用中文维基百科的域名zh.wikipedia.org于5月19日被关键字屏蔽和DNS污染,目前从中国已无法访问中文维基百科,中文维基百科的域名也无法解析出正确的IP地址,而英文维基百科目前未受影响,可以正常访问。
闲聊:神经网络与深度学习
By 苏剑林 | 2015-06-06 | 67523位读者 | 引用在所有机器学习模型之中,也许最有趣、最深刻的便是神经网络模型了。笔者也想献丑一番,说一次神经网络。当然,本文并不打算从头开始介绍神经网络,只是谈谈我对神经网络的个人理解。如果希望进一步了解神经网络与深度学习的朋友,请移步阅读下面的教程:
http://deeplearning.stanford.edu/wiki/index.php/UFLDL教程
http://blog.csdn.net/zouxy09/article/details/8775360
机器分类
这里以分类工作为例,数据挖掘或机器学习中,有很多分类的问题,比如讲一句话的情况进行分类,粗略点可以分类为“积极”或“消极”,精细点分为开心、生气、忧伤等;另外一个典型的分类问题是手写数字识别,也就是将图片分为10类(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)。因此,也产生了很多分类的模型。
【翻译】巨型望远镜:要继续,就得有牺牲!
By 苏剑林 | 2015-06-10 | 27247位读者 | 引用文章来自:新科学家,这是一篇关于30米望远镜(Thirty Meter Telescope,TMT)的新闻,起因是望远镜的制造遭到当地人的不满,当然背后的原因是很深远的,难以说清楚。更多有关TMT的新闻,可以阅读:http://www.ctmt.org/
夏威夷的巨型望远镜:要继续,就得有牺牲!
四分之一必须离开!在停止了两个月之后,夏威夷的巨型30米望远镜(Thirty Meter Telescope,TMT)重新回归到建设进程——但要牺牲其他望远镜。
由于夏威夷当地居民的抗议声越来越大,早在四月望远镜的建设工作就被迫暂停。与该望远镜相比,目前世界上所有的望远镜都相形见绌——它让能够让天文学家们凝视可见的宇宙的边缘。它位于许多夏威夷人认为是“神圣之地”的死火山莫纳克亚山,因此被夏威夷人认为是一种侮辱——尤其是在山顶已经有十多个望远镜了。
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