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Oct
[欧拉数学]素数有无穷多个的两个证明
By 苏剑林 | 2011-10-02 | 75594位读者 | 引用素数是数的基本单元，就如同高楼大厦中的砖块一样。显然，素数有无穷多个是数论研究价值的前提。不然，数的研究就局限在有限个素数之内，那么很多数字就会失去了它们的魅力。就好比只有有限块砖头，就不能创建出建筑的奇迹一般。下面介绍两个关于素数无穷的经典证明，其中一个是欧几里得的证明，这是最原始、最简单的证法，相信很多读者已经学习过了，在此还是要提一下；另外一个是我在《怎样解题》中看到的，原作者是欧拉，也是一个非常美妙的证明。当然，本文强调的思想，论证过程可能会有一些不严谨的地方，请读者完善^_^
一、欧几里得证明
这个证明思想非常简单：若干个素数的积加上1后会产生新的素数因子。要是素数只有n个，那么我们就把它们相乘，然后加上1，得到的将会是什么呢？如果是一个素数，那么将会与素数只有n个矛盾；如果是一个合数，它除以原来的n个素数都不是整数，那么它就会拥有新的素数因子了，这还是和只有n个素数矛盾。不论哪种情况，只有素数有限，就会得出矛盾，于是素数必然是无限的。
18
Nov
[欧拉数学]黎曼ζ函数
By 苏剑林 | 2011-11-18 | 53260位读者 | 引用欧拉数学的魅力在于，它运用类比的方法，把各个看似毫无关联的领域联系了起来，生动而巧妙地得出了正确的结果。他对$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...=\frac{\pi^2}{6}$的计算便是一个典型的例子。虽然论证过程未必严谨，但是那“神奇”的推导已经令我们拍案叫绝，而且往往发人深思。这种效果通常是严格论证难以实现的，它不仅给予我们答案，而且还给予了我们启迪：新的思想，新的方向；有时，它还揭示了各个学科之间内在而深刻的联系。下面我们来观察一下数论中的“黎曼ζ函数”和“金钥匙”！
黎曼ζ函数指的是：
$$\xi (s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}=\frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+...$$
本来s应该是一个实数，但是将复分析引入数论后，将s推广至复数具有更大的研究价值。
19
Nov
[欧拉数学]素数倒数之和
By 苏剑林 | 2011-11-19 | 40176位读者 | 引用上一篇文章我通过欧拉数学的方式简单地讲了数论中的“黎曼ζ函数”和“金钥匙”。事实上，这把“金钥匙”与很多问题之间的联系已经被建立了起来，换句话说，“金钥匙”已经插入到了相应的“锁孔”中，数学家的工作就是要把这个金钥匙“拧动”，继而打开数学之门！
接下来我们看看如何证明所有素数的倒数之和发散的。在入正题之前，我们得需要看一个引理：
无限数列${a_n}$的每一项都大于0，那么$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$与$\prod\limits_{n=1}^{\infty} \left(1+a_n\right)$的敛散性相同。换句话说，两者互为充分必要条件！
1
May
相对论、对称和第四维
By 苏剑林 | 2012-05-01 | 85240位读者 | 引用这篇文章其实在年初就完成了。
众所周知，我们生活在一个平坦的世界中。正如我们能够感受到的那样，在这个被称为“欧几里得平直空间”的世界里，空间里两点间的最短曲线是两点间的直线段，空间里的任意直角三角形都满足勾股定理，每个物体都有着自己的长、宽、高，它们都随着时间的流逝而运动着。这种世界观把时间独立于空间之外，作为一个独特的研究对象。但是自爱因斯坦在1905年发表狭义相对论以来，我们的宇宙就被描述成为了由三维空间和一维时间组成的“四维时空”，在这里，时间和空间的地位是等价的。不少同好们也许会感到非常困惑：即使证明了时间与空间的确存在着某种联系，也不必要把时间描述成是世界的一维吧？在我们的感官里，时间明明就和空间的三维差别甚大，时间和空间怎么能够等同起来呢？其实答案很简单：为了美。把时间看成与空间等价的一维之后，整个力学体系体现出一种前所未有的对称美，这种美不仅让人赏心悦目，而且极大地方便了我们进一步处理问题。
对称
10
Jun
费曼积分法——积分符号内取微分(1)
By 苏剑林 | 2012-06-10 | 82969位读者 | 引用
方轮自行车
你见过正方形轮子的自行车吗？一般认为，只有圆形的车轮才能使我们的车子平稳向前移动，但这只是针对平直道路而言的。谁规定路一定是平的？只要铺好一条适当的道路，正方形车轮的自行车照样可以平稳前行！本文就让我们为方轮自行车铺一条路。
其实，方轮自行车已经不是新鲜玩意了，它早已出现在不少科技馆中。从图片中可以看到，它的特殊轨道是有许多段弧组成的，每一段弧的长度等于正方形的边长。车轮前行时，正方形会保持与弧形相切（确保不会打滑）。这样的路的形状是什么曲线呢？很幸运，它并不十分复杂，而且让人意外的是，它就是我们之前已经研究过的“悬链线”！原来，要设计这样的一个曲线的轨道，不需要多么高深的设计师，只需要我们手拿一条铁链，让它自由垂下......
站长注：这篇文章来源于网络，原文是繁体中文版本，我经过修改整理而成。它原来是《费曼的6堂Easy物理课》这本书的解说，但是由于内容上的详细和扼要，我更愿意把它当做物理学家费曼的解说，与大家分享。
伟哉！费曼
社会上普遍有种错误的想法，总以为科学是完全客观的，不但不会因人而异，更不会感情用事。对比之下，科学以外的各种人类活动，则多多少少会受到一般潮流动向、突发的时尚风潮，以及当事人的性格、偏好所左右。唯有科学，得受制于科学社群都同意的规则、步骤，与严密的测试、检验。科学仅着重于得到的结论，而不在乎谁是做研究、做实验的人。
以上说法显然是无稽之谈，科学既然靠人推动，就跟其他人类活动相同，都会受到大环境趋势及个人意念的影响。在科学领域，研究潮流的趋向受到主题素材选择的影响并不大，却相当取决于当时科学家对整个世界的看法。
高斯说过“数学是科学的皇后，而算术则是数学的女王。”这里的“算术”，其实就是我们现在所说的数论。从很小的时候开始，我便对数论情有独钟。虽然后来接触了很多更为有趣的数学分支，但是对数学的热情依然不减。我想，这大概是因为小时候的情结吧。小学时候，小小年纪的我，刚刚学完素数、合数、约数、整除等等概念，对数字尤其有兴趣。我想，在那时候我唯一能够读懂的数学难题只有数论这一领域吧。比如费马大定理，$x^n+y^n=z^n$，对于n大于2没有正整数解，很容易就知道它在讲什么；再比如，哥德巴赫猜想，每个大于4的偶数都可以分拆成两个奇素数之和，也很简单就弄懂它讲的是什么。所以，小小的我看懂了这些问题后就饶有兴致地摆弄数字啦，也许正因为如此，才让我对数字乃至对数学都有深厚的爱。
哥德巴赫猜想，无疑是数论中的一个璀璨明珠，可是目前来讲，它还是可望不可即的。一个看似如此简单的猜想，却困惑了数学家几百年，至今无人能解。尽管如此，我还是愿意细细地研究它，慢慢地品味它，在“论证”、或者说验算它的时候，欣赏到数学那神秘的美妙。本文主要就是研究给定偶数的“哥德巴赫分拆数”，即通过实际验算得出每个偶数分拆为两个素数之和的不同分拆方式的数目，比如6=3+3，只有一种分拆方式；8=3+5=5+3；有两种分拆方式；10=3+7=5+5=7+3，有三种分拆方式；等等。偶数2n的分拆数记为$G_2 (2n)$。
（这里定义的“分拆数”跟网上以及一般文献中的定义不同，这里把3+5和5+3看成是两种分拆方式，而网上一般的定义是只看成一种。我这里的定义的好处在于分拆方式的数目实际表示了分拆中涉及到的所有素数的个数。）
哥德巴赫猜想很难，这话没错，但是事实上哥德巴赫猜想是一个非常弱的命题。它说“每个大于4的偶数至少可以分拆成两个奇素数之和”,用上面的术语来说，就是每个偶数的“哥德巴赫分拆数”大于或等于1。可是经过实际验算发现，偶数越大，它的哥德巴赫分拆数越大，两者整体上是呈正相关关系的，比如$G_2 (100)=12,G_2 (1000)=56,G_2 (10000)=254$......所以，从强弱程度上来讲，这和“少于n的素数至少有一个”是差不多的（当然，难度有天壤之别）。
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