科学空间|Scientific Spaces

我现在是越来越佩服爱因斯坦了，他的相对论是他天才的思想的充分体现。只有当相对论提出之后，宏观物理的大多数现象和规律才得到了统一的描述。狭义相对论中爱因斯坦对我们速度叠加常识的否定已经显示了他莫大的勇气，而一项头脑风暴性的工作——广义相对论则将他惊人的创造力体现得完美无瑕。我是被量子力学的数学吸引的，于相对论则是被相对论美妙的逻辑体系吸引。当然，其中也有相当美妙的数学。

狭义相对论中的核心内容之一就是被称为洛仑兹变换的东西，这在相对论发表之前已经由洛仑兹推导出来了，只不过他不承认他的物理意义，也就没有就此进行一次物理革命，革命的任务则由爱因斯坦完成。很久前我就已经看过洛仑兹变换的推导，那是直接设一种线性关系来求解的。但是我总感觉那样的推导不够清晰（也许是我的理解方式有问题吧），而且没有说明狭义相对论的两条原理如何体现出现。所以在研究过矩阵之后，我就尝试用矩阵来推导洛仑兹变换，发现效果挺好的，而且我觉得能够体现出相对论中的对称性。

两条原理

1、狭义相对性原理：在所有惯性系中，物理定律有相同的表达形式。这是力学相对性原理的推广，它适用于一切物理定律，其本质是所有惯性系平权。

2、光速不变原理：所有惯性系中，真空中的光速都等于c=299 792 458 m/s，与光源运动无关。迈克耳孙-莫雷实验是其有力证明。

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这篇文章源于《新科学家》2010年8月7日刊，它介绍了物理学家Horava为了统一相对论和量子力学，把广义相对论的时空联系割裂的尝试。在相对论中，时间和空间结合成了不可分割的整体。而现在，有物理学家却要把时间与空间分开，来建立让广义相对论和量子力学相调和的统一理论。我对这个理论挺感兴趣的，当然，我还没有能力弄懂它。只是它符合了我们大多数人的一个直觉，就是时间总有跟空间不同的地方，它们之间不应该完全等同起来。不过，事实如何，只有未来的实验能够严重了。

本文并没有官方的中文译文，现载的译文来自“译言网”。译文有一些翻译不大正当的地方，由于时间限制，无法一一修正，但是我觉得对于理解本文内容已经足够了。如果有疑问，不妨参考后边的英文原文，并在此提出与大家讨论。

对爱因斯坦的反思：空间-时间耦合的物理数学的终结

纠结于融合引力和量子力学的物理学家们正向着一个受到铅笔芯启发的理论欢呼雀跃，这个理论可以很简单地让他们取得成功。

它曾是一个改变了我们思考空间和时间的方式的报告。那一年是1908年，德国数学家赫尔曼-闵可夫斯基正尝试着理解爱因斯坦火热的新思想——即我们现在所熟知的狭义相对论，它描述当物质运动很快时它们是如何收缩以及时间是如何扭曲的。“从此独立的空间和时间将注定淡出到纯粹的虚幻中，”闵可夫斯基说道：“而只有两者的统一才能保证一个独立的现实世界。”

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4、量子场论中的泛函方法

路径积分出现之初，大多数物理学家反映都很冷淡，甚至怀疑它的正确性。这一方面是对路径积分方法的陌生与误解所致。在泊珂淖会议上，玻尔就把费曼图误解成粒子运动的轨迹，并对之进行了尖锐的批评。（[19]，P.459)另一方面，费曼并没有用公理化的方法，从作用量或拉格朗日量出发系统地推导出费曼规则，他是靠经验、猜测、检验和比较来给出与各种图相应的规则的。尽管如此，费曼却能把他的方法推广到当时热门的介子理论，并且只需一个晚上就可解决他人用正则哈密顿方法要用几个月的时间才能解决的问题。费曼方法的有效性，使戴逊大为惊讶，并促使他相信路径积分“必定是根本上正确的”（[1]，P.54）理论。随之，戴逊便决定把“理解费曼（的思想)并用一种他人能理解的语言来加以阐述”（[1]，p.54）作为自己的主要工作。1948年，戴逊成功地证明了朝永振一朗、施温格和费曼三人的理论“在其共同适用领域内”[25]的等价性。费曼的粒子图像的路径积分方法由此改头换面，变成了场论形式的泛函积分方法。

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3、费曼图和量子电动力学的重整化

在1947年美国避难岛（Shelter Island)会议上，兰姆报导了他的重大发现，即现今所称的兰姆位移;氢原子的$2S_{\frac{1}{2}}$能级比$2P_{\frac{1}{2}}$高出约1000MHz。而按照狄拉克理论，对纯库仑相互作用的电子-质子系统，这两个能级应该是简并的。人们很快就认识到，该位移应归之于一阶近似的辐射校正[19]。贝特用一个电子的校正质量就非相对论近似得出了氢原子nS能级的位移公：

$$\frac{8}{3\pi}(\frac{e^2}{\hbar c})Ry \frac{Z^4}{n^3} Ln\frac{K}{ < E_n-E_m > _{AV}}$$

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2、量子力学中的作用量量子化方法

在发现经典电动力学的这个新作用量之后，费曼便试图将它量子化，以期得到一个令人满意的量子电动力学。当时，量子物理学中还没有采用作用量方法。常规的途径是从哈密顿函数开始，用算符来取代经典哈密顿函数中的位置和动量，再应用非对易关系。费曼当时还不知道，狄拉克在1932年的一篇文章中已经将作用量和拉格朗日函数引进了量子力学[9]。正当他百思不得其解时，一位在普林斯頓访问的欧洲学者吿诉他，狄拉克在某某文章中讨论过这一间题。得知此信息后，费曼次日即去图书馆翻阅此文。

狄拉克在1932年的文章中引进了一个非常重要的函数$ < q_{t+dt}|q_t > $，并指出它“相当于” $\exp[\frac{i}{\hbar}Ldt]$[9]。这“意味着”,狄拉克强调：“我们不应该把经典的拉格朗日函数看成是坐标和速度的函数，而应把它看作两个不同时刻t和r+dt的坐标的函数。"[9]在狄拉克思想的启发之下，费曼径直把“相当于”改写为“正比于”：

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注：这是郝刘祥前辈的一篇论文，98年的时候发表在《自然辩证法通讯》上，里边讲述了费曼以及路径积分的相关故事。我从网上下载下来，原文是很粗糙的pdf文件，我特意将它转化为网页文件，供大家欣赏。有些公式很模糊，所以我已经到图书馆查找了原文，但是由于作者非理论物理专业人员，还不确定部分公式是否正确，请读者慎读。原文较长，将分开几篇来发。如果涉及到版权问题，请作者告之（bojone@spaces.ac.cn），我将会尽快处理掉。

自然辩证法通讯（JOURNAL OF DIALECTICS OF NATURE）
第二十卷总115期，1998第3期

郝刘祥

摘要：该文首先阐述了 Richard Feynman为解决经典电动力学的发散问题而做的艰苦努力，进而论述了这种努力的副产品何以使他偏爱作用量表述，以及他是如何在Dirac文章的启发下得到非相对论量子力学的第三种形式--作用量量子化方案的。文章的第三部分叙述了费曼将其方案推广到相对论情形的尝试和费曼图的由来。最后，该文试图就路径积分方法在量子场论等领域中的广泛应用以及费曼对量子场论的重大疑惑作一简要的说明。

关键词：费曼，作用量，几率幅，路径积分

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===聊聊天===

上个月在网上买了三本相对论教材和一本《量子力学概论》，本打算好好研究下相对论的数学体系，可是书到了之后，我却深深地被量子力学吸引住了，不停在研读。而且在研究量子力学的同时，我的线性代数和微分方程知识也增加了不少，这确实是我没有想到的。在我看来，不管是狭义相对论还是广义相对论，它本质上都是一种几何理论，你总要想象从一个参考系观测会发生什么，然后从另外一个参考系又会看到什么；而量子力学虽然对我来讲一切都是新鲜的，但是它的数学性比较强，主要是微分方程的求解和理解。我想这也是我对量子力学更感兴趣的原因吧，因为我善于代数而不善于几何。

量子力学中让我最神往的内容莫过于费曼所发明的路径积分形式。资料记载费曼用他发明的方法在一个晚上就算出了别人几个月才算出来的结果，可见路径积分形式的优越性。当然，我也清楚，这个路径积分并不简单，它涉及到了泛函积分这一非常高深的内容，对于我这个连数学分析都还没有学好的小孩来说，泛函是难以触摸的。不过，我还是尽量想办法向它靠近。为此，我还浏览到了一些不少让人兴奋的内容，比如薛定谔的方程的推导、力学-光学类比、雅可比方程等等。

很遗憾，在正统的量子力学教材中，这些让我很兴奋的内容却鲜有涉及，有的话大多数都是一笔带过的感觉。多数量子力学不会讲到路径积分，就算有也只是作为附录。对于薛定谔方程的推导，也没有涉及到。这也让我养成了一个习惯意识：书本最有趣的东西往往都是在附录。所以对于教科书，那么写得正正式式的内容我一概没有兴趣，那些附录内容才是我最喜欢读的。可是，那些让人兴奋的内容却不一定是很难的，就像下面的薛定谔方程的启发式推导，它不仅不难，而且易于理解。

===薛定谔方程===

在量子力学诞生之前，科学家已经通过实验发现光既有波动性也有粒子性，而德布罗意提出也同时具有波动性和粒子性，这些都奠定了量子力学的基础。根据量子论，一个光子的能量可以由$E=h\nu=\hbar (2\pi \nu)$，其中$\nu$是频率，$\hbar=\frac{h}{2\pi}$，h是普朗克常数，习惯记$\omega=2\pi \nu$，即$E=\hbar \omega$。

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虽然文章的大部分内容我都还无法弄懂，但是这里边讲述的振奋人心的内容让我决定把它转载过来。文章说，将大自然的各种力统一起来，或许没有物理学家原来所想的那么困难。

撰文∕ 伯尔尼（Zvi Bern）、狄克森（Lance J. Dixon）寇索尔（David A. Kosower）
翻译∕ 高涌泉（台湾大学物理系教授）
提供/ 科学人（Scientific American繁体中文版）

重点提要

物理学家对于粒子碰撞的了解，最近经历了一场宁静革命。知名物理学家费曼所引入的观念对于很多应用而言已到达极限。作者与合作者已经发展出新的方法。

物理学家利用新方法，可以更可靠地描述在大强子对撞机（LHC）那种极端条件下普通粒子的行为，这将帮助实验学家寻找新粒子与新作用力。

新方法还有更为深刻的应用：它让一种于1980年代被物理学家放弃的统一理论有了新生命，重力看起来像是双份的强核力一起作用。

春天某个晴朗的日子，本文作者狄克森从英国伦敦地铁的茂恩都站进入地铁，想前往希斯洛机场。伦敦地铁每天有300万名乘客，他瞧着其中一位陌生人，无聊地想着：这位老兄会从温布尔登站离开地铁的机率有多大？由于此人可能搭上任何一条地铁路线，所以该如何推算这个机率呢？他想了一会，领悟到这个问题其实跟粒子物理学家所面对的麻烦很像，那就是该如何预测现代高能实验中粒子碰撞的后果。

欧洲核子研究组织（CERN）的大强子对撞机（LHC）是这个时代最重要的探索实验；它让质子以近乎光速前进并相撞，然后研究碰撞后的碎片。我们知道建造对撞机及侦测器得用上最尖端的技术，然而较不为人知的是，解释侦测器的发现同样也是极为困难的挑战。乍看之下，它不应该那么困难才对，因为基本粒子的标准模型早已确立，理论学家也一直用此模型来预测实验的结果，而且理论预测所依赖的是著名物理学家费曼（Richard P. Feynman）早在60多年前就发展出来的计算技巧，每位粒子物理学家在研究生阶段都学过费曼的技巧；关于粒子物理的每本科普书、每篇科普文章，也都借用了费曼的概念。

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