《环球科学》:超越费曼图

虽然文章的大部分内容我都还无法弄懂，但是这里边讲述的振奋人心的内容让我决定把它转载过来。文章说，将大自然的各种力统一起来，或许没有物理学家原来所想的那么困难。

撰文∕ 伯尔尼（Zvi Bern）、狄克森（Lance J. Dixon）寇索尔（David A. Kosower）
翻译∕ 高涌泉（台湾大学物理系教授）
提供/ 科学人（Scientific American繁体中文版）

重点提要

物理学家对于粒子碰撞的了解，最近经历了一场宁静革命。知名物理学家费曼所引入的观念对于很多应用而言已到达极限。作者与合作者已经发展出新的方法。

物理学家利用新方法，可以更可靠地描述在大强子对撞机（LHC）那种极端条件下普通粒子的行为，这将帮助实验学家寻找新粒子与新作用力。

新方法还有更为深刻的应用：它让一种于1980年代被物理学家放弃的统一理论有了新生命，重力看起来像是双份的强核力一起作用。

春天某个晴朗的日子，本文作者狄克森从英国伦敦地铁的茂恩都站进入地铁，想前往希斯洛机场。伦敦地铁每天有300万名乘客，他瞧着其中一位陌生人，无聊地想着：这位老兄会从温布尔登站离开地铁的机率有多大？由于此人可能搭上任何一条地铁路线，所以该如何推算这个机率呢？他想了一会，领悟到这个问题其实跟粒子物理学家所面对的麻烦很像，那就是该如何预测现代高能实验中粒子碰撞的后果。

欧洲核子研究组织（CERN）的大强子对撞机（LHC）是这个时代最重要的探索实验；它让质子以近乎光速前进并相撞，然后研究碰撞后的碎片。我们知道建造对撞机及侦测器得用上最尖端的技术，然而较不为人知的是，解释侦测器的发现同样也是极为困难的挑战。乍看之下，它不应该那么困难才对，因为基本粒子的标准模型早已确立，理论学家也一直用此模型来预测实验的结果，而且理论预测所依赖的是著名物理学家费曼（Richard P. Feynman）早在60多年前就发展出来的计算技巧，每位粒子物理学家在研究生阶段都学过费曼的技巧；关于粒子物理的每本科普书、每篇科普文章，也都借用了费曼的概念。

然而费曼的技巧对于当下的问题而言，其实已经无效！它虽然提供了一种直观、近似的方法来掌握最简单的过程，但是对于更复杂的过程或是更精确的计算来说，却是无可救药地繁杂。和预测一位地铁乘客会往哪里去相比，预测粒子碰撞后会出现什么结果难太多了。即便是LHC中一次很普通的碰撞，我们就算是用上全世界的计算机，也没有办法推算出其结果。如果理论学家不能就已知物理定律与已知的物质形式做出精确的预测，那么就算对撞机真的产生了新东西，我们又怎么知道呢？就我们所知，LHC可能已经找到了大自然某些奥秘的答案，但是我们却仍被蒙在鼓里，原因就是我们对于标准模型方程式的解还不够精确。

近年来，我们三人以及合作者已经发展出一种新的办法：幺正法（unitarity method），来分析粒子反应过程，它可以避开费曼法的繁复性，基本上等同于一种可以预测地铁乘客会往哪里去的高度简便方法，其关键在于体认到每当地铁乘客面临选择时，他的选项其实是受到相当限制的，因此我们可以把要追求的答案分解成一连串行动的机率。这个新方法已经让我们解决了粒子物理中很多原本无从解决的理论问题，因此我们能够更深入理解现今基本粒子理论的预测，辨认出新发现。这个方法也可以用于另一个有趣的模型，而得到很多结果；这个模型和标准模型类似，但是所描述的是一个理想化的世界，物理学家对它很感兴趣，因为它被视为追求最终理论路上的垫脚石。

幺正法不仅是有用的计算技巧而已，它暗示了粒子交互作用理论其实有一个崭新的形式，此形式是由意料之外的对称性所掌控，这意味着标准模型具有尚未受到重视的精致面。特别值得一提的是，长久以来物理学家致力于将量子理论与爱因斯坦广义相对论结合成量子引力论，幺正法在这方面揭露了一个很奇怪的转折。1970年代以前，物理学家一直假设引力的性质和其他基本交互作用是相似的，所以便设法推广既有的理论以包容引力。但是当他们将费曼的技巧用于这类理论时，却发现要不就得到荒谬的答案，要不就被复杂的数学给困住了；所以，引力看起来终究和其他力完全不同。因此沮丧的物理学家便转向更革命性的点子，例如超对称以及后来的弦论。

可是幺正法让我们能够实际执行1980年代就试图要做但无从做起的计算，结果发现某些原先料想的矛盾其实并不存在。也就是说，引力的确看起来和其他力是相似的，只是其方式令人意外：引力的行为像是「双份」把核子束缚在一起的强核力。由于强核力是由胶子传递的，而引力应该是由称为引力子的粒子来传递，幺正法所提供的新图像即是每个引力子就像是两个缝在一起的胶子。这个概念相当奇怪，即便专家也还无法好好想象它的意义。无论如何，这个「双份」的性质提供了一个崭新的观点，来探讨引力如何能和其他力结合。

从一棵树变成了森林

费曼的技巧何以那么令人信服与有用？关键是它给了我们一个图像式的规则，来对付极为复杂的计算。费曼法的核心是一种图（常称为费曼图），让我们以视觉方式来看待两个或多个粒子碰撞或相互散射。在每个探究基本粒子物理的研究机构里，你一定会看到黑板上画满了这种图。理论学者在做定量预测时，会先画一组图，每个图都代表粒子碰撞过程可能的进行方式，如同伦敦地铁乘客可能选取的各种路径。理论学者只要依循费曼以及戴森（Freeman Dyson）等人所定下的一组详细规则，就可以赋予每个图一个数字，代表该事件如图发生的机率。

费曼法的缺点是我们可以画出的图太多了，原则上是无穷多个，不过就费曼当初发展这个方法的目的而言，这项缺点并不太要紧。他当时研究的是量子电动力学（QED），目的在于描述电子与光子的交互作用。此交互作用是由一个称为「耦合系数」的量所控制，其大小约为1/137。由于这个电磁耦合系数很小，使得较为复杂的图在计算中所占的份量就比较小，因此常常可以忽略。就像对地铁乘客来说，选择较为简单的路线通常比较有利。

20年之后，物理学家将费曼的技巧推广至强核力。基于和QED的模拟，强核力的理论称为量子色动力学（QCD）。QCD也受到一个强耦合系数的控制，但是我们从「强」这个字，就可预料到QCD的强耦合系数要比QED的电磁耦合系数来得大。从表面上看，若耦合系数变大，则理论学家在计算中必须包括的复杂图数量就得增加，这就好似如果地铁乘客愿意选择非常迂回的路线，我们就很难预测他的下一步。不过幸运的是，在非常短的距离内（包括LHC中粒子的碰撞所涉及的距离尺度），强耦合常数其实变小了，因此理论学家在计算最简单的碰撞时，只要考虑不复杂的费曼图就好。

然而，如果要处理杂乱的碰撞，则费曼法涉及的繁复之处就无法避免了。费曼图中有「外线」与「环圈」，我们可以用外线的数目与环圈的数目来分类费曼图。环圈代表量子理论最核心的特色之一：虚粒子。虚粒子虽然不可直接观测，却对力的强度（耦合系数的大小）有可观测的效应。虚粒子遵循一切平常的自然定律，例如能量守恒与动量守恒，除了一个例外：虚粒子的质量和相对应的「实粒子」（即可以直接观察到的）不一样。环圈代表虚粒子极短暂的生命周期：它们忽然出现，行进很短的距离后，又消失了。虚粒子的质量决定了它们的寿命——质量越大寿命越短。

最简单的费曼图忽略了虚粒子，也就是没有环圈，因此称为树图。在量子电动力学中，最简单的图就是两个电子藉由交换一个光子而相互排斥。接下来，我们可以将环圈一个个加进去，得到更复杂的图。物理学家称这种迭加的步骤为「微扰法」，意思是我们从某个近似（由树图代表）开始，然后藉由加上修正（由环圈代表）来逐渐扰动最初的近似。例如，当光子旅行于两个电子之间，它可以自发地分裂成一个虚电子与一个虚正子，这一对电子与正子存在了很短的时间，然后相互湮灭而变回光子，此光子就继续原先光子的旅程。如果我们考虑下一阶的修正，则电子与正子自身也可能暂时分裂。费曼图中虚粒子的数目越多，费曼图就越能精确地描述量子效应。

不过即使是树图也很麻烦。在QCD中，你如果勇敢地考虑较复杂的碰撞，例如有两个胶子进来，然后有八个胶子出去，则必须画下约1000万个树状费曼图，并针对每个图算出对应的机率。有一种称为递归的办法，是荷兰来登大学的贝伦（Frits Berend）以及现今在美国费米实验室的吉尔（Walter Giele）于1980年代首先发展出来的，能够处理树图，但是无法推广至圈图；更糟糕的是，环圈带来无法承担的计算量。即便只涉及一个环圈，费曼图的数量与每个图的复杂度也都会大幅增加，数学公式足以填满一本百科全书。利用更多计算机去硬算这些图也只能应付一阵子，一旦外线与环圈的数量增加了，我们只有举手投降。

更糟的是，原本费曼图是一种将微观世界可视化的具体方式，现在却反而让微观世界变得模糊不清：一个费曼图就已经复杂到无以捉摸，要处理的图又那么多，我们根本弄不清到底关键在哪里。可是真正令人震惊的是，当我们把所有的图加起来，最后的结果却相当简单！有些图会相互抵消，使得原本有几百万项的数学式有时会化简成只剩一项！这些相消意味着费曼图不是处理问题的正确工具，就好似拿羽毛来钉钉子。一定有更好的办法才对。

比费曼图更好的方法

多年来，物理学家尝试过很多计算的技巧，每个都比先前的好一点，逐渐地，一个取代费曼图的方法便成形了。我们从1990年代初期开始参与，当时我们之中的伯尔尼与寇索尔证明了可以利用弦论技巧，把所有相关的费曼图整合进一个公式，简化了QCD计算。接着我们三人用这个公式分析一个一直尚未了解的粒子反应：两个胶子透过一个虚粒子环圈散射成三个胶子；这个过程如果以传统的办法处理，会非常复杂，但是我们可以用一个极其简单的公式（可以写进一张纸）来描述它。

这个公式如此简单，以致于我们与当时在美国加州大学洛杉矶分校的邓拔（David Dunbar）发现只要用一个称为「幺正性」的原理，便几乎可以完全理解这个散射过程。幺正性的意思是所有（量子过程）可能结果的机率加起来，必须是百分之百。（严格说来，我们处理的是机率的平方根，而非机率本身，不过在这里这个区别并不重要。）在费曼的技巧中，幺正性虽然也成立，但是常会被计算的复杂性所掩盖，所以我们发展出另一种方法，以凸显幺正性的中心地位。其实将计算奠基在幺正性上的想法在1960年代就已经出现，不过未获青睐。科学上被放弃的点子有时会再改头换面凯旋归来，这是屡见不鲜的事。

幺正法成功的关键在于避免直接利用虚粒子，那是让费曼图变得如此复杂的主因。这种粒子有真实的效应，也有虚假的效应；依定义，虚假的效应当然必须在最后的结果中彼此相消，所以它们是额外的数学包袱，物理学家当然很乐意抛弃掉。

我们可以用之前提过的地铁模拟来理解这个方法：在复杂的伦敦地铁系统中，任何两地铁站间有很多条路径；假设我们想知道一个人从茂恩都站进入地铁而从温布尔登站出去的机率，费曼法相当于把所有可能路径的机率加起来，这里的「所有」是真的，亦即除了经由走廊与隧道，费曼图包括了通过（没有地铁轨道与走道的）岩石的路径；这些不实际的路径就像是来自虚粒子圈的假贡献，虽然最终会相消掉，但是在计算步骤中却一个也不能漏掉；在幺正法中，我们仅考虑那些有实际意义的路径。我们把问题分解，以计算乘客走某条路径的机率：这个人通过十字转门、走这条或那条轨道的机率有多高？这样可以大幅减少所需的计算量。

费曼法与幺正法没有对错之分，两者都呈现了同样的基本物理定律，最后也都会得到相同的机率，但是它们代表了不同层次的描述。复杂的碰撞涉及数万个费曼图，其中一个费曼图就像一滴液体中的一个分子；虽然原则上你可以追踪所有的分子来决定流体的行为，但是这么做只适用于微观的极小滴液体，一般而言，这么做是极吃力却又无助于理解流体行为的事；流体可能从斜坡上冲下来，但我们却很难从分子的角度去得知这件事；考虑上一层次的性质（例如流体速度、密度、压力）可能会更有帮助。同样的，与其把粒子碰撞想象成是由一个个费曼图建构起来的，不如整体地看待它；我们应该全神贯注于那些会控制整个过程的性质，例如幺正性以及在幺正法中受重视的那些特殊对称性。在某些特殊的例子中，我们可以做出完全精准的理论预测，如果利用费曼法，这需要用上无穷多个图与无穷的时间！

幺正法的好处还不只如此。在我们发展出用于虚粒子圈图的幺正法之后，那时在美国普林斯顿高等研究院的布瑞托（Ruth Britto）、卡察佐（Freddy Cachazo）、冯波（Bo Feng）与维顿（Edward Witten）提出了一个和我们互补的点子：他们再次考虑树图，例如可以从四个粒子的碰撞，再跟随着一个粒子分裂成两个粒子的这种过程的机率，去推算出涉及五个粒子的碰撞机率。这是令人惊讶的结果，因为五个粒子的碰撞，通常看起来非常不同于前述两个前后相连的碰撞与分裂过程。这样一来，我们可以用很多种方法把令人头痛的粒子问题分解成较简单的问题。

在对撞里寻找新物理

LHC中的质子碰撞极为复杂，费曼曾经把这种碰撞比喻为拿瑞士表互撞，以便了解其内部结构；他的技巧即是用于追踪碰撞时所发生的事。质子不是基本粒子，而是由强核力将夸克与胶子束缚在一起的小球。当质子撞在一起，里头的夸克可以和夸克相撞、夸克可以和胶子相撞，而胶子也可以和胶子相撞，同时夸克和胶子也可以分裂成更多的夸克与胶子。最后它们聚在一起，成为复合粒子，以很细窄的喷束从对撞机喷射出来。

人类从未见过的新粒子、新对称或新时空维度可能就藏在乱七八糟的喷束中，但是要把这些新东西筛检出来很不容易。对于探测仪器而言，新粒子和普通粒子差异极小，很容易忽略。有了幺正法，我们便可以非常精准地描述已知物理，使得不寻常的物理凸显出来。

例如，美国加州大学圣巴巴拉分校的因坎德拉（Joe Incandela）目前是LHC中的紧凑缈子螺管侦测器（CMS）实验团队的发言人，他找上我们，询问关于他的团队在寻找构成宇宙暗物质的新粒子时遇上的问题。天文学家相信宇宙中存在着这种神秘物质，但是物理学家还没找到它。如果LHC制造出这类粒子，CMS捕捉不到，我们只会注意到有些能量似乎消失了。不幸的是，能量的消失不能证明LHC制造出暗物质，举例来说，LHC经常会产生Z玻色子，而每个Z玻色子有1/5的机率衰变成两个微中子，微中子也是侦测器捕捉不到的（因为它们和一般物质的交互作用极微弱），所以我们也会发现能量不见了。那么LHC会产生多少「效应类似暗粒子的标准模型粒子」呢？

因坎德拉的团队提出一种预测方法：从CMS记录的光子数量，去推论涉及微中子的事件数量，看看能否解释失踪的能量。如果不能，则LHC便可能产生了暗物质。这样的推论方法其实相当典型，因为实验学家无法直接观测某些类型的粒子，只好这样间接推论。不过这种方法要成功，因坎德拉的团队必须精确估计光子数量和微中子数量的关系；除非他们相当清楚这一点，不然这种推论就会失败。因此我们和几位合作者用新的理论工具研究了这个问题，结论是因坎德拉团队的估计还算相当精确。有了这样的保证，CMS团队便利用他们的方法对暗物质粒子的性质设下了最严格的限制。所以我们的技巧是有用的！

这次的成功鼓励了我们去挑战更难的计算。我们的合作伙伴包括委内瑞拉西蒙．波利瓦大学的柯戴罗（Fernando Febres Cordero）、以色列特拉维夫大学与美国加州大学洛杉矶分校的伊塔（Harald Ita）、英国德罕大学的默特瑞（Daniel Ma褾re）、美国史丹佛直线加速器中心的霍契（Stefan Hoche）与加州大学洛杉矶分校的欧兹润（Kemal Ozeren）；他们来自全球各地，在现代粒子物理研究中，这是很常见的事。我们一起精准算出了LHC碰撞产生一对微中子与四个喷束的机率。如果使用费曼图，即使很大的物理团队以最新的计算机努力工作10年，这些计算还是太困难了。幺正法让我们在一年内就完成计算。另一个LHC实验：超导环场探测器（ATLAS）的团队已经把我们的预测和他们的实验数据相比，目前为止非常相符，这让我们非常高兴。接下来，他们将利用这些结果去寻找新物理。

幺正法也有助于寻找大家等待已久的希格斯粒子。找到希格斯粒子的一个迹象是碰撞之后产生了一个电子、一对喷束以及一个微中子，而看不到的微中子也同样让我们以为能量消失了。但是其他没有涉及希格斯粒子的粒子反应也可能有相同的产物，所以幺正法最初的用途之一就是精确计算出这些引起混淆的反应发生的机率。

回到引力

幺正法有一个更令人惊叹的应用，那就是探究量子引力。物理学家如要发展出一个完备的大自然理论，就必须将引力融入量子力学架构之中。如果引力的行为和其他类型的力相似，它应该是由引力子来传递。引力子和其他粒子一样，会互撞、会散射，而我们也能画出相对应的费曼图。然而当物理学家在1980年代中期，试着用最简单的办法来量子化爱因斯坦理论，以描述引力子的散射时，却得到不合理的结果，例如一些明显不可能是无穷大的量，却被预测为无穷大。无穷大的量本身其实不是问题，因为它们可能出现于计算过程中，既使是像标准模型这种没问题的理论，也可能出现无穷大。但是对于任何可观测的量来说，计算过程中出现的无穷大最后应该全部相消掉；对引力而言，无穷大却相消不掉。具体来讲，这表示空间与时间的量子起伏（已故量子引力先驱惠勒称之为「量子泡沫」）会越来越激烈，全然无法控制。

一个可能的解释是大自然包含尚未发现的粒子，可以驾驭这些激烈的量子效应。这样的点子已具体呈现于所谓的「超引力」理论之中，而且也在1970~1980年代初期为人深入研究。但是当间接论证暗示着不合理的无穷大还是会起自于超过两个环圈的费曼图时，大家的兴奋就冷却下来了。超引力似乎注定要失败了。

失望的心情使得很多人转向研究弦论。弦论和标准模型有很大的差异：根据弦论，粒子如夸克、胶子与引力子不再是微小的点，而是一维弦的振荡。粒子的交互作用是散开于弦上各处，并不是集中于单一个点，如此就自动避免了无穷大的产生。但是弦论有其麻烦之处，例如它无法对可观测量做出明确的理论预测。

超引力理论卷土重来

在1990年代中期，英国剑桥大学的知名物理学家霍金（Stephen Hawking）鼓吹再给超引力理论一次机会。他指出，1980年代的研究者抄了近路，因此他们的结论是可疑的。不过霍金没办法说服任何人，因为人们走快捷方式是有道理的：完整的计算是不可能的，其难度即使是最聪明的数学奇才也无法应付。如果要知道一个有三个虚引力子环圈的费曼图是否会产生无穷大的量，我们必须计算10²⁰项；如果考虑一个五环圈费曼图，就必须计算10³⁰项；这么大的数字约等于LHC侦测器中原子的数目，难怪完整的计算注定无望。

幺正法已经扭转了整个局势。我们利用幺正法重新评估超引力理论，看看能否为它平反。原本需要计算10²⁰项的工作，我们现在只需计算几十项就够了。这项工作的合作者包括美国宾州大学的罗易班（Radu Roiban）以及当时是加州大学洛杉矶分校研究生的卡拉斯柯（John Joseph Carrasco）与约翰松（Henrik Johansson），我们的结论是1980年代的猜测错了：原本似乎无穷大的量其实是有限的，超引力没有物理学家以为的那么不堪，这意味着超引力中空间与时间的量子起伏远比以前想象的缓和。读者如果不停拿好酒来给我们，或许会碰上我们在揣测的某个超引力理论，可能就是追寻已久的量子引力论。

更有意思的是，三个引力子的交互作用很像是「双份」的三个胶子的交互作用。无论有多少粒子在散射，无论涉及了多少虚粒子环圈，这个「双份」性质似乎都成立，这意味着引力好像是强交互作用的平方。将前述数学上的发现翻译成物理见解，并且检验它是否在所有状况下都成立，还需要一些时间；但目前的最关键之处在于引力或许与其他的交互作用没有什么不同。

科学上屡见不鲜的情况是，在每次辩论尘埃落定之后，就会出现另一个争议。在我们把三圈图算出来之后，马上就有人怀疑四圈图可能会出问题。只要有争议，就有人打赌；对于计算的结果有人赌上了好酒：意大利巴洛洛红葡萄酒对上加州纳帕山谷夏多内白葡萄酒。当我们完成计算之后，并没有发现有麻烦的迹象，因此结束了这次辩论（并打开一瓶巴洛洛）。

那么超引力理论是否就完全不会遇到无穷大？或者是理论中的高度对称性仅仅在环圈数量很小时，才有抑制无穷大的功能？如果后者是对的，则麻烦应该在五圈图就会悄悄出现，到了七圈图，量子效应便会强烈到足以产生无穷大。如果七圈图没有无穷大，加州大学圣巴巴拉分校的葛罗斯（David Gross）愿意拿出一瓶加州金芬黛红葡萄酒；为了判定这个赌注，已经有人开始计算。假如七圈图是有限的，怀疑者不仅会非常惊讶，最后还可能接受超引力是无矛盾的理论。不过既使如此，这个理论并没有捕捉住所谓的非微扰效应，这些效应在我们使用的一圈圈往前计算的微扰法中，会过于细微而看不到；它们可能仍旧需要一个更深刻的理论（或许是弦论）来处理。

物理学家喜欢把新理论想成是来自新原理（如相对论、量子力学、对称性）的大胆应用。但是有时候，新理论是起于对已知原理的仔细查验。我们对于粒子碰撞的了解已大幅提升，这场宁静革命使我们能够以不得了的精确方式算出标准模型的结果，因此显著提高了我们发现超越标准模型的新物理的能力。更让人惊讶的是，这个方法让我们探索了旧物理中尚待开发的角落，包括一条曾被忽略、却可能是通往统一引力与其他已知力的路径。从很多角度看，研究基本粒子如何散射的旅程，和乘坐可预测的伦敦地铁其实不一样，比较像是《哈利波特》中的爵士巴士之旅——你永远无法完全清楚接下来会发生什么事！

（本文由科学人提供，原载科学人2012年第125期6月号）

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