快要学期末了,不少学霸开始忙碌起来了。不过对非学霸的我来说,基本上每天都是一样的,希望把自己感兴趣的东西深入研究下去,因为我觉得,真正学会点有用的东西才是最重要的。数学分析和高等代数老师都要求写课程论文,我也写了我比较感兴趣的“欧拉数学”和“超复数研究”,之后会把这部分内容与大家分享。

虽然学期已经接近尾声了,但是我们的课程还没有上完。事实上,我们的新课一直上到十八周~随着考试的接近,我们的《高等代数》课程也已经要落幕了。最近在上的是二次型方面的内容,讲到正定二次型和正定矩阵。关于正定矩阵的判别,教科书上提供了两个判别方法,一个是基于定义的初等变换,另外一个就是主子式法。前者无可厚非,但是后者我似乎难以理解——它虽然是正确的,但是它很丑,计算量又大。我还没有想清楚主子式法到底有什么好的?在我看来,本文所探讨的基于二次方程判别式的方法才是简单、快捷的。

正定二次型
所谓正定二次型,就是关于n个变量$x_1,x_2,...,x_n$的二次齐次函数,只要$x_i$不全为0,它的值恒为正数。比如
$$2 x_1^2+x_2^2-2 x_1 x_2=x_1^2+(x_2-x_1)^2$$
这是一个比较简单的正定二次型,多元的还有
$$5 x_1^2+x_2^2+5 x_3^2+4 x_1 x_2-8 x_1 x_3-4 x_2 x_3$$

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