也许不少同好已经在一些书籍上看到过这样的论述:

各向同性的薄球壳,其内部任意一点所受到来自球壳的引力为0。

这是一个很神奇的事情,因为这意味着这是一个均匀引力场,虽然我们在很多问题上都假设了引力场均匀,但是我们却很难知道如何构造一个真正的均匀引力场(而构造一个真正的均匀力场都分析某些问题是很有用的,例如推导一些比例系数),现在眼前就摆着一个均匀引力场了。并且利用它我们就可以计算均匀实心球内部一点所受到的引力(等于它与一个球体的引力)。而关于它的证明,当然也可以利用微积分的知识,可是我们在这里介绍一个初等的方法,相信它会使我们更加感受到物理的神奇和有趣。

均匀薄球壳.PNG

如图,我们要证明A点所受到的引力之和为0。过A点可以作两个立体角很小的对顶的圆锥,化成平面图就是图中“ΔABC和ΔADE”或“ΔAGF和ΔAHI”。以前者为例,当对顶角很小时,我们可以把DE和BC部分都其视为质点处理,并且将DE和BC看成直线(注意,它们本不是一条线,而是一个凸起的圆;看成直线后他们就是一个平面上的圆)。分别计算它们对A点的引力
$F_{ABC}=\frac{GM_{BC}M_A}{AB^2}$
$F_{ADE}=\frac{GM_{DE}M_A}{AD^2}$
由于密度均匀
$\frac{M_{BC}}{M_{DE}}=\frac{S_{BC}}{S_{DE}}=\frac{AB^2}{AD^2}
代入后,我们发现
$F_{ABC}=F_{ADE}$
也就是说,这两个部分的引力抵消了。一个球壳可以做无限次这种分割,而它们的引力都相互抵消,换句话说球壳的每个点对A的引力都会有另外一个点与之抵消,于是A点所受的引力为0。

由于静电力场具有和万有引力场类似的性质(和距离平方成反比),因而不难类比到,当球壳上均匀布满同种电荷时,球壳内任意点电荷所受的静电力合力为零。这时,我们不禁产生一个疑问:电荷有正负之分,要是球壳被平均分成两半,各自都均匀地分布着等量的异种电荷,那么内部的电场是怎样的呢?

也许有朋友猜测也是匀强的,不过这样想的朋友错了。请看下图
均匀带电薄球壳.PNG

蓝色弧和红色弧分别代表带等量的异种电荷,分析点A的受力情况,根据上面的推导方法,由于BC与DE两段弧(实际是两个凸圆)的静电力相互抵消,红色弧与BD弧的静电力相等,而且方向相同,因此可以看成:A点的受力等于半球壳CE(红色弧)对A点的合力的两倍。要是受力均匀,那就是说半球壳CE对任意点的静电力相等,这显然不符合事实。


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