之前承诺过会把毕业论文共享出来,让大家批评指正,却一直偷懒没动。事实上,毕业论文的主要内容就是路径积分的一些入门级别的内容,标题为《随机游走、随机微分方程与偏微分方程的路径积分方法》。我的摘要是这样写的:

本文从随机游走模型出发,得到了关于随机游走模型的一般结果;然后基于随机游走模型引入了路径积分,并且通过路径积分方法,实现了随机游走、随机微分方程与抛物型微分方程的相互转化,并给出了一些计算案例.

路径积分方法是量子理论的一种形式,但实际上它可以抽象为一个有用的数学工具,本文的主要方法正是抽象后的路径积分;其次,量子力学中有一个相当典型的抛物型偏微分方程——薛定谔方程,物理学家已经对它进行了大量的研究,有众多的成果;而随机微分方程是一个微分方程的拓展,在物理、工程、金融等很多方面都有重要应用,这个领域中也有很多研究方法;最后,随机游走是一个简单而重要的模型,它是很多扩散模型的基础,而且具有容易使用计算机模拟的特性. 因此,实现三者的转化是很有意义的.

本文有一些新的内容,比如现有文献比较少研究的不对称随机游走方面、以及现有文献比较含糊的对路径积分的介绍等,可以供同好参考,希望借此方式,能够让一些读者以更简洁明了的方式理解路径积分. 但是本文主要是陈述性的,旨在在国内推广路径积分方法. 在国外,路径积分方法得到了相当的重视,它源于量子力学,但应用已经不仅仅限于量子力学,如著作[1],因此,推广路径积分方法、增加路径积分的中文资料,是很有意义和很有必要的事情.

本文所有推导和例子均以一维为例,相应的多维问题可以类似地计算。

大体的内容如目录:

1 随机游走
1.1 模型简介 ................................................ 1
1.2 非对称随机游走............................................. 2
1.3 简化形式 ................................................ 3
1.4 计算机模拟............................................... 3
2 路径积分 4
2.1 从点的概率到路径的概率 ....................................... 4
2.2 对路径进行求和............................................. 5
2.3 抛物方程的路径积分.......................................... 5
2.4 从路径积分到偏微分方程 ....................................... 7
2.5 一些算例 ................................................ 7
2.5.1 最可能路径........................................... 7
2.5.2 二次型作用量.......................................... 8
2.5.3 微扰展开 ............................................ 8
3 随机微分方程 9
3.1 概念................................................... 9
3.2 线性随机微分方程 ........................................... 9
3.3 计算雅可比行列式 ........................................... 10
3.4 路径积分方法.............................................. 12
4 一些例子 13
4.1 股票价格模型.............................................. 13
5 论文综述 14
参考文献 15

不打算直接发布PDF,而是略微修改地发布在博客之中。由于博客的排版与原始的LaTeX有一定出入,因此需要花上一定的时间修改。本系列定位为路径积分入门教程,因此对原论文中一些不详细部分会多加说明,因此会比原论文还要详细些。但由于论文写作的时候要求比较完整,因此有些内容可能会跟博客中已有的文章重复,请读者谅解。

参考文献:

[1] Hagen Kleinert;《Pah Integrals in Quantum Mechanics,Statistics,Plymer Physics,and Financial Markets》 第五版 [M]; 世界图书出版公司
[2] Papoulis A., Pillai S.U.;《概率、随机变量与随机过程》(第 4 版)[M]; 西安交通大学出版社
[3] Gregory F. Lawler; Random Walk and the Heat Equation[J]
[4] Sheldon M. Ross(作者), 龚光鲁 (译者); 《随机过程》[M]; 机械工业出版社
[5] Feynman;《量子力学与路径积分》[M]; 高等教育出版社
[6] 侯伯元, 云国宏, 杨战营;《路径积分与量子物理导引:现代高等量子力学初步》[M]; 科学出版社
[7] M Chaichian, A Demichev; Path Integrals in Physics: Volume I Stochastic Processes and Quantum Me-
chanics
[8] Carson C. Chow,Michael A. Buice; Path Integral Methods for Stochastic Di erential Equations[J]
[9] Horacio S.Wio; APPLICATION OF PATH INTEGRATION TO STOCHASTIC PROCESSES: AN IN- TRODUCTION[J]
[10] Belal E.Baaquie; Quantum Finance: Path Integrals and Hamiltonians for Options and Interest Rates[M];
世界图书出版公司

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