素数是数的基本单元,就如同高楼大厦中的砖块一样。显然,素数有无穷多个是数论研究价值的前提。不然,数的研究就局限在有限个素数之内,那么很多数字就会失去了它们的魅力。就好比只有有限块砖头,就不能创建出建筑的奇迹一般。下面介绍两个关于素数无穷的经典证明,其中一个是欧几里得的证明,这是最原始、最简单的证法,相信很多读者已经学习过了,在此还是要提一下;另外一个是我在《怎样解题》中看到的,原作者是欧拉,也是一个非常美妙的证明。当然,本文强调的思想,论证过程可能会有一些不严谨的地方,请读者完善^_^

一、欧几里得证明

这个证明思想非常简单:若干个素数的积加上1后会产生新的素数因子。要是素数只有n个,那么我们就把它们相乘,然后加上1,得到的将会是什么呢?如果是一个素数,那么将会与素数只有n个矛盾;如果是一个合数,它除以原来的n个素数都不是整数,那么它就会拥有新的素数因子了,这还是和只有n个素数矛盾。不论哪种情况,只有素数有限,就会得出矛盾,于是素数必然是无限的。

二、欧拉经典

这个证明需要做一些准备工作。它的思想是:等比数列+生成函数。

首先,我们有公式$S(p)=1+p^{-1}+p^{-2}+...+p^{-n}=\frac{1-p^{-n-1}}{1-p^{-1}}$,这是等比数列的求和公式,当$|p| > 1,n\to \infty$时,$p^{-n-1} \to 0$我们有:
$S(p)=\sum_{n=0}^{\infty} p^{-n}=\frac{1}{1-p^{-1}}=\frac{p}{p-1}$

下面我们尝试将p遍取所有的素数,即2,3,5,7,...,并将各S(p)相乘,得到(记为K):
$K=S(2)*S(3)*S(5)...$
$=(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}...)(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}...)(1+\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{5^3}...)...$
$=\frac{2}{2-1}*\frac{3}{3-1}*\frac{5}{5-1}*...$

K有什么特别的地方呢?注意到这里各素数的幂都相互乘了一次,这和自然数的产生是一样的:把若干个素数的幂相乘,就可以得到任意自然数。于是我们就可以(并非毫无根据地)写出:
$K=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...$

根据我们知道级数$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...$是发散的,所以素数不可能只有有限个,因为$K=\frac{2}{2-1}*\frac{3}{3-1}*\frac{5}{5-1}*...$,要是素数只有有限个的话,那么这个乘积必然也是有限的,这会导致矛盾。所以素数无限。

三、和素数定理的一丝联系

素数定理告诉我们,不大于n的素数的个数$\pi(n)$约等于$\frac{n}{ln n}$。

而由上面的讨论我们得到:
$K=\frac{2}{2-1}*\frac{3}{3-1}*\frac{5}{5-1}*...=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...$

而由微积分可以证明,第二个等号右边的部分,即$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...+\frac{1}{n}$可以近似表示为$ ln n$,那么把式子倒过来,就可以得到:
$\frac{2-1}{2}*\frac{3-1}{3}*\frac{5-1}{5}*...\approx \frac{1}{ln n}$

而对于n很大时,不大于n的偶数显然约等于$n/2$,剩下的$n/2$个奇数中,3的倍数约等于$1/3$,所以非3倍数约等于$n*1/2*2/3$,剩下的数字中,非5倍数显然会约等于$n*1/2*2/3*4/5$,依此类推,得到
$\pi(n) \approx n*1/2*2/3*4/5*6/7*... \approx \frac{n}{ln n}$

当然,这个压根儿就不算什么证明,顶多是一个勉强而幸运地成功的推理。不过虽然经不起严格的逻辑的考验,但作为一个初等的思考的欣赏,也是相当有趣的^_^


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