打从科学空间建立起,就已经设立了“问题百科”这一个分类,但内容一直都很少,主要是平时太懒去总结一些问题。现在得要养成善于思考、总结的习惯了。

前几天到网上印刷了《天遇》和《无法解出的方程》来阅读,两者都是我很感兴趣的书。想当初在初中阶段阅读《数学史选讲》时,我最感兴趣的就是解方程方面的内容(根式解),通过研究理解了1到4次方程的求根公式,并通过阅读知道了4次以上的代数方程没有一般的根式可解。这在当时是多么值得高兴的一件事情!!

现在,稍稍阅读了《无法解出的方程》后,结合我之前在代数方程方面的一些总结,提出一个问题:

若任意的一元n次方程$\sum_{i=0}^{n} a_i x^i=0$的根记为$x_i=R_{n,i}(a_0,a_1,...,a_n)$

那么,是否存在大于3的n,使得任意的一元(n+1)次方程的根能够用加、减、乘、除、幂、开方以及$R_{j,i}$(j可以是1到n的任意整数)通过有限步骤运算出来?

这个问题可以换一个近似但不等价的说法

若一元1次、2次、...、n次均可以根式解答,那么一元(n+1)次方程能否有根式解?

也就是说,(n+1)次方程的根能够表示成 1到n次方程的根与加、减、乘、除、幂、开方的有限次运算?

(不考虑前提的正确与否,显然n=4已经不成立了,当时n=5,6,7,8,...等有没有可能呢?)

期待有人能够解决^_^


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