科学空间|Scientific Spaces

前段时间，一个名为“幂等生成网络（Idempotent Generative Network，IGN）”的生成模型引起了一定的关注。它自称是一种独立于已有的VAE、GAN、flow、Diffusion之外的新型生成模型，并且具有单步采样的特点。也许是大家苦于当前主流的扩散模型的多步采样生成过程久矣，因此任何声称可以实现单步采样的“风吹草动”都很容易吸引人们的关注。此外，IGN名称中的“幂等”一词也增加了它的神秘感，进一步扩大了人们的期待，也成功引起了笔者的兴趣，只不过之前一直有别的事情要忙，所以没来得及认真阅读模型细节。

最近闲了一点，想起来还有个IGN没读，于是重新把论文翻了出来，但阅读之后却颇感困惑：这哪里是个新模型，不就是个GAN的变种吗？跟常规GAN不同的是，它将生成器和判别器合二为一了。那这个“合二为一”是不是有什么特别的好处，比如训练更稳定？个人又感觉没有。下面将分享笔者从GAN角度理解IGN的过程和疑问。

生成对抗

关于GAN（Generative Adversarial Network，生成对抗网络），笔者前几年系统地学习过一段时间（查看GAN标签可以查看到相关文章），但近几年没有持续地关注了，因此这里先对GAN做个简单的回顾，也方便后续章节中我们对比GAN与IGN之间的异同。

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上一篇文章《生成扩散模型漫谈（十九）：作为扩散ODE的GAN》中，我们介绍了如何将GAN理解为在另一个时间维度上的扩散ODE，简而言之，GAN实际上就是将扩散模型中样本的运动转化为生成器参数的运动！然而，该文章的推导过程依赖于Wasserstein梯度流等相对复杂和独立的内容，没法很好地跟扩散系列前面的文章连接起来，技术上显得有些“断层”。

在笔者看来，《生成扩散模型漫谈（十七）：构建ODE的一般步骤（下）》所介绍的ReFlow是理解扩散ODE的最直观方案，既然可以从扩散ODE的角度理解GAN，那么必定存在一个从ReFlow理解GAN的角度。经过一番尝试，笔者成功从ReFlow推出了类似WGAN-GP的结果。

理论回顾

之所以说“ReFlow是理解扩散ODE的最直观方案”，是因为它本身非常灵活，以及非常贴近实验代码——它能够通过ODE建立任意噪声分布到目标数据分布的映射，而且训练目标非常直观，不需要什么“弯弯绕绕”就可以直接跟实验代码对应起来。

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在文章《生成扩散模型漫谈（十六）：W距离 ≤ 得分匹配》中，我们推导了Wasserstein距离与扩散模型得分匹配损失之间的一个不等式，表明扩散模型的优化目标与WGAN的优化目标在某种程度上具有相似性。而在本文，我们将探讨《MonoFlow: Rethinking Divergence GANs via the Perspective of Wasserstein Gradient Flows》中的研究成果，它进一步展示了GAN与扩散模型之间的联系：GAN实际上可以被视为在另一个时间维度上的扩散ODE！

这些发现表明，尽管GAN和扩散模型表面上是两种截然不同的生成式模型，但它们实际上存在许多相似之处，并在许多方面可以相互借鉴和参考。

思路简介

我们知道，GAN所训练的生成器是从噪声$\boldsymbol{z}$到真实样本的一个直接的确定性变换$\boldsymbol{g}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{z})$，而扩散模型的显著特点是“渐进式生成”，它的生成过程对应于从一系列渐变的分布$p_0(\boldsymbol{x}_0),p_1(\boldsymbol{x}_1),\cdots,p_T(\boldsymbol{x}_T)$中采样（注：在前面十几篇文章中，$\boldsymbol{x}_T$是噪声，$\boldsymbol{x}_0$是目标样本，采样过程是$\boldsymbol{x}_T\to \boldsymbol{x}_0$，但为了便于下面的表述，这里反过来改为$\boldsymbol{x}_0\to \boldsymbol{x}_T$）。看上去确实找不到多少相同之处，那怎么才能将两者联系起来呢？

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Wasserstein距离（下面简称“W距离”），是基于最优传输思想来度量两个概率分布差异程度的距离函数，笔者之前在《从Wasserstein距离、对偶理论到WGAN》等博文中也做过介绍。对于很多读者来说，第一次听说W距离，是因为2017年出世的WGAN，它开创了从最优传输视角来理解GAN的新分支，也提高了最优传输理论在机器学习中的地位。很长一段时间以来，GAN都是生成模型领域的“主力军”，直到最近这两年扩散模型异军突起，GAN的风头才有所下降，但其本身仍不失为一个强大的生成模型。

从形式上来看，扩散模型和GAN差异很明显，所以其研究一直都相对独立。不过，去年底的一篇论文《Score-based Generative Modeling Secretly Minimizes the Wasserstein Distance》打破了这个隔阂：它证明了扩散模型的得分匹配损失可以写成W距离的上界形式。这意味着在某种程度上，最小化扩散模型的损失函数，实则跟WGAN一样，都是在最小化两个分布的W距离。

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这几天读到论文《Exploring and Exploiting Hubness Priors for High-Quality GAN Latent Sampling》，了解到了一个新的名词“Hubness现象”，说的是高维空间中的一种聚集效应，本质上是“维度灾难”的体现之一。论文借助Hubness的概念得到了一个提升GAN模型生成质量的方案，看起来还蛮有意思。所以笔者就顺便去学习了一下Hubness现象的相关内容，记录在此，供大家参考。

坍缩的球

“维度灾难”是一个很宽泛的概念，所有在高维空间中与相应的二维、三维空间版本出入很大的结论，都可以称之为“维度灾难”，比如《n维空间下两个随机向量的夹角分布》中介绍的“高维空间中任何两个向量几乎都是垂直的”。其中，有不少维度灾难现象有着同一个源头——“高维空间单位球与其外切正方体的体积之比逐渐坍缩至0”，包括本文的主题“Hubness现象”亦是如此。

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当前，WGAN主流的实现方式包括参数裁剪（Weight Clipping）、谱归一化（Spectral Normalization）、梯度惩罚（Gradient Penalty），本来则来介绍一种新的实现方案：梯度归一化（Gradient Normalization），该方案出自两篇有意思的论文，分别是《Gradient Normalization for Generative Adversarial Networks》和《GraN-GAN: Piecewise Gradient Normalization for Generative Adversarial Networks》。

有意思在什么地方呢？从标题可以看到，这两篇论文应该是高度重合的，甚至应该是同一作者的。但事实上，这是两篇不同团队的、大致是同一时期的论文，一篇中了ICCV，一篇中了WACV，它们基于同样的假设推出了几乎一样的解决方案，内容重合度之高让我一直以为是同一篇论文。果然是巧合无处不在啊～

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WGAN，即Wasserstein GAN，算是GAN史上一个比较重要的理论突破结果，它将GAN中两个概率分布的度量从f散度改为了Wasserstein距离，从而使得WGAN的训练过程更加稳定，而且生成质量通常也更好。Wasserstein距离跟最优传输相关，属于Integral Probability Metric（IPM）的一种，这类概率度量通常有着更优良的理论性质，因此WGAN的出现也吸引了很多人从最优传输和IPMs的角度来理解和研究GAN模型。

然而，最近Arxiv上的论文《Wasserstein GANs Work Because They Fail (to Approximate the Wasserstein Distance)》则指出，尽管WGAN是从Wasserstein GAN推导出来的，但是现在成功的WGAN并没有很好地近似Wasserstein距离，相反如果我们对Wasserstein距离做更好的近似，效果反而会变差。事实上，笔者一直以来也有这个疑惑，即Wasserstein距离本身并没有体现出它能提升GAN效果的必然性，该论文的结论则肯定了该疑惑，所以GAN能成功的原因依然很迷～

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提高模型的泛化性能是机器学习致力追求的目标之一。常见的提高泛化性的方法主要有两种：第一种是添加噪声，比如往输入添加高斯噪声、中间层增加Dropout以及进来比较热门的对抗训练等，对图像进行随机平移缩放等数据扩增手段某种意义上也属于此列；第二种是往loss里边添加正则项，比如$L_1, L_2$惩罚、梯度惩罚等。本文试图探索几种常见的提高泛化性能的手段的关联。

随机噪声

我们记模型为$f(x)$，$\mathcal{D}$为训练数据集合，$l(f(x), y)$为单个样本的loss，那么我们的优化目标是
\begin{equation}\mathop{\text{argmin}}_{\theta} L(\theta)=\mathbb{E}_{(x,y)\sim \mathcal{D}}[l(f(x), y)]\end{equation}
$\theta$是$f(x)$里边的可训练参数。假如往模型输入添加噪声$\varepsilon$，其分布为$q(\varepsilon)$，那么优化目标就变为
\begin{equation}\mathop{\text{argmin}}_{\theta} L_{\varepsilon}(\theta)=\mathbb{E}_{(x,y)\sim \mathcal{D}, \varepsilon\sim q(\varepsilon)}[l(f(x + \varepsilon), y)]\end{equation}
当然，可以添加噪声的地方不仅仅是输入，也可以是中间层，也可以是权重$\theta$，甚至可以是输出$y$（等价于标签平滑），噪声也不一定是加上去的，比如Dropout是乘上去的。对于加性噪声来说，$q(\varepsilon)$的常见选择是均值为0、方差固定的高斯分布；而对于乘性噪声来说，常见选择是均匀分布$U([0,1])$或者是伯努利分布。

添加随机噪声的目的很直观，就是希望模型能学会抵御一些随机扰动，从而降低对输入或者参数的敏感性，而降低了这种敏感性，通常意味着所得到的模型不再那么依赖训练集，所以有助于提高模型泛化性能。

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