科学空间|Scientific Spaces

之前曾在《自然极值》系列文章中提到过均匀重力场下的悬链线形状问题，并且在那文章中向读者提出：在一个质点（地球）引力场中的悬链线形状会是怎么样的。说实话，提出这个问题的时候，我还不懂怎么解答这个问题，不过现在会了，回头一看，已经几个月了，时间过得真快...

与之前的思路一样，我们依旧采用的是“平衡态公理”，即总势能最小。从天体力学中我们知道，任意两个质点间的势能为$-\frac{Gm_1 m_2}{r}$。对于本题的悬链线问题，我们可以把地球放到坐标原点位置，而悬链的两个固定点分别为$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$，链的总长度为l。即
$$\int_{x_1}^{x_2} \sqrt{dx^2+dy^2}=l$$

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打从科学空间建立起，就已经设立了“问题百科”这一个分类，但内容一直都很少，主要是平时太懒去总结一些问题。现在得要养成善于思考、总结的习惯了。

前几天到网上印刷了《天遇》和《无法解出的方程》来阅读，两者都是我很感兴趣的书。想当初在初中阶段阅读《数学史选讲》时，我最感兴趣的就是解方程方面的内容（根式解），通过研究理解了1到4次方程的求根公式，并通过阅读知道了4次以上的代数方程没有一般的根式可解。这在当时是多么值得高兴的一件事情！！

现在，稍稍阅读了《无法解出的方程》后，结合我之前在代数方程方面的一些总结，提出一个问题：

若任意的一元n次方程$\sum_{i=0}^{n} a_i x^i=0$的根记为$x_i=R_{n,i}(a_0,a_1,...,a_n)$

那么，是否存在大于3的n，使得任意的一元(n+1)次方程的根能够用加、减、乘、除、幂、开方以及$R_{j,i}$（j可以是1到n的任意整数）通过有限步骤运算出来？

这个问题可以换一个近似但不等价的说法：

若一元1次、2次、...、n次均可以根式解答，那么一元(n+1)次方程能否有根式解？

也就是说，(n+1)次方程的根能够表示成 1到n次方程的根与加、减、乘、除、幂、开方的有限次运算？

（不考虑前提的正确与否，显然n=4已经不成立了，当时n=5,6,7,8,...等有没有可能呢？）

期待有人能够解决^_^

今天是——

农历 辛卯年五月初五
公历 2011年6月6日
星期一 芒种

还要加上一个节日——端午节！

祝大家端午节快乐！

今天你吃粽子了吗？别忘了，“粽”是家乡美！

粽子

在之前的一篇向量系列的文章中，我们通过结合物理与向量来巧妙地推导出了曲线（包括平面和空间的）的曲率半径为
$$R=\frac{v^2}{a_c}=\frac{|\dot{\vec{r}}|^3}{|\dot{\vec{r}}\times \ddot{\vec{r}}|}\tag{1}$$
曲率则是曲率半径的导数：$\rho=\frac{1}{R}$。我们反过来思考一下：曲率恒定的平面曲线是否只有圆？

答案貌似是很显然的，我们需要证明一下。

由于只是考虑平面情况，我们先设$\dot{\vec{r}}=(v cos\theta,v sin\theta)=z=ve^{i\theta}$，代入(1)得到
$\frac{\dot{\theta}}{v}=\rho$————(2)

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BoJone记得自己第一次接触三角函数大概是小学五、六年级的时候，那时候我拿来了表姐的初中数学书来看。看到三角函数一章后，饶有兴致，希望能够找到一个根据角度来求三角函数值的方法，可是书本上只是教我去用计算器算和查表，这让我这个爱好计算的孩子大失所望。这个问题直到高一才得以解决，原来这已经涉及到了微积分中的泰勒级数了...

我记得为了求任意角度的三角函数值，我曾经根据30°、45°和60°的正弦值拟合过一条近似公式出来：
$$\sin A \approx \sqrt{\frac{A}{60}-1/4}$$

其中A以角度为单位，大致适用于25°~60°，精度好像有两位小数。当然，这个结果在今天看来是很粗糙的，但是这毕竟是我的“小学的作品”！在此留念一翻。

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我们考虑一个球状的星团，并假设它是各向同性的，即距离球心r处的物质密度ρ只与r有关，ρ=ρ(r)。那么，在半径为r的球形区域内的总质量为：
$$M(r)=\int_0^r 4\pi x^2 \rho(x) dx$$

想象有一颗质量比较小的恒星（其实相对于星团总质量，每一颗恒星的质量都很小）在星团的引力作用下运动（就好像太阳系绕着银河系运动一样），且恒星并没有受到其他物质（如星际尘埃等）的阻力。我们之前已经证明过，各向同性的球壳内部的引力是为0的，那么这种情况下的运动就相当于恒星只受到它到球心处的一个球形区域内的质量的引力吸引。根据万有引力定律，选择星团球心为参考系，可以得出
$$\ddot{\vec{r}}=-GM(r)\frac{\vec{r}}{r^3}$$

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前几天刚结束的云浮高二期末考数学试卷中，有一道题目让我比较深刻。因为在当时我无法去证明它，只是用了举例子的方法得出了答案。刚才思考了一下，在此给出证明过程。题目如下：

定义在(0,+∞)的函数f(x)满足$x f'(x) \leq f(x)$，对于任意的0 < a < b，比较$a f(b)$和$b f(a)$的大小。

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科学空间曾经提到过$e^{i\pi}+1=0$这条被誉为“数学最卓越的公式的公式之一”的公式，而读者们或许很就之前就已经听说过甚至证明过它了。那么，各位读者是否还知道其他的一些关于e,i,π的轶事呢？例如你知道$i^i$等于多少吗？还有$i^{1//i}$呢？

本文就让我们来欣赏一次数学之美！

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