BoJone记得自己第一次接触三角函数大概是小学五、六年级的时候，那时候我拿来了表姐的初中数学书来看。看到三角函数一章后，饶有兴致，希望能够找到一个根据角度来求三角函数值的方法，可是书本上只是教我去用计算器算和查表，这让我这个爱好计算的孩子大失所望。这个问题直到高一才得以解决，原来这已经涉及到了微积分中的泰勒级数了...

我记得为了求任意角度的三角函数值，我曾经根据30°、45°和60°的正弦值拟合过一条近似公式出来：
$$\sin A \approx \sqrt{\frac{A}{60}-1/4}$$

其中A以角度为单位，大致适用于25°~60°，精度好像有两位小数。当然，这个结果在今天看来是很粗糙的，但是这毕竟是我的“小学的作品”！在此留念一翻。

后来上了初中，了解到了一些高中的知识后，我就尝试求更多的角度的三角函数表达式。除了30°、45°和60°外，我们还有18°的三角函数表达式：

$$\begin{aligned}\sin 18^{\circ}=\frac{\sqrt{5}-1}{4} \\ \cos 18^{\circ}=\frac{\sqrt{2\sqrt{5}+10}}{4}\end{aligned}$$

同时，根据$cos A$和$cos B$求$cos (A-B)$的方法：
$$\cos(A-B)=\cos A \cos B+\sqrt{(1-\cos^2 A)(1-\cos^2 B)}$$

根据$cos A$求$cos \frac{A}{2}$的方法：
$$\cos\frac{A}{2}=\sqrt{\frac{\cos A+1}{2}}$$

根据$cos A$求$cos \frac{A}{3}$的方法：
$$\begin{aligned}\cos A=4(\cos\frac{A}{3})^3-3\cos\frac{A}{3} \\ \cos \frac{A}{3} = \frac{1}{2} ( -\sqrt[3]{\sqrt{\cos^2 A-1}-\cos A} +\sqrt[3]{\sqrt{\cos^2 A-1}+\cos A})\end{aligned}$$

于是我们可以写出：$cos 15^{\circ}=\frac{\sqrt{\sqrt{3}+2}}{2}$

$$\begin{aligned}\cos 3^{\circ}=\cos(18^{\circ}-15^{\circ})= \\ \frac{\sqrt{2\sqrt{15}+4\sqrt{5}+10\sqrt{3}+20}+\sqrt{2\sqrt{15}-4\sqrt{5}-6\sqrt{3}+12}}{8}\end{aligned}$$

于是就不难写出cos 1°了。当然现在看来，这个东西只能作为一种存在性证明，没有用多大的实用价值。

转载到请包括本文地址：https://kexue.fm/archives/1385

更详细的转载事宜请参考：《科学空间FAQ》

如果您还有什么疑惑或建议，欢迎在下方评论区继续讨论。

如果您觉得本文还不错，欢迎分享/打赏本文。打赏并非要从中获得收益，而是希望知道科学空间获得了多少读者的真心关注。当然，如果你无视它，也不会影响你的阅读。再次表示欢迎和感谢！

如果您需要引用本文，请参考：

苏剑林. (Jun. 26, 2011). 《cos 1°的根式表达式 》[Blog post]. Retrieved from https://kexue.fm/archives/1385

@online{kexuefm-1385,
        title={cos 1°的根式表达式},
        author={苏剑林},
        year={2011},
        month={Jun},
        url={\url{https://kexue.fm/archives/1385}},
}