BoJone记得自己第一次接触三角函数大概是小学五、六年级的时候,那时候我拿来了表姐的初中数学书来看。看到三角函数一章后,饶有兴致,希望能够找到一个根据角度来求三角函数值的方法,可是书本上只是教我去用计算器算和查表,这让我这个爱好计算的孩子大失所望。这个问题直到高一才得以解决,原来这已经涉及到了微积分中的泰勒级数了...

我记得为了求任意角度的三角函数值,我曾经根据30°、45°和60°的正弦值拟合过一条近似公式出来:
$$\sin A \approx \sqrt{\frac{A}{60}-1/4}$$

其中A以角度为单位,大致适用于25°~60°,精度好像有两位小数。当然,这个结果在今天看来是很粗糙的,但是这毕竟是我的“小学的作品”!在此留念一翻。

后来上了初中,了解到了一些高中的知识后,我就尝试求更多的角度的三角函数表达式。除了30°、45°和60°外,我们还有18°的三角函数表达式:

$$\begin{aligned}\sin 18^{\circ}=\frac{\sqrt{5}-1}{4} \\ \cos 18^{\circ}=\frac{\sqrt{2\sqrt{5}+10}}{4}\end{aligned}$$

同时,根据$cos A$和$cos B$求$cos (A-B)$的方法:
$$\cos(A-B)=\cos A \cos B+\sqrt{(1-\cos^2 A)(1-\cos^2 B)}$$

根据$cos A$求$cos \frac{A}{2}$的方法:
$$\cos\frac{A}{2}=\sqrt{\frac{\cos A+1}{2}}$$

根据$cos A$求$cos \frac{A}{3}$的方法:
$$\begin{aligned}\cos A=4(\cos\frac{A}{3})^3-3\cos\frac{A}{3} \\ \cos \frac{A}{3} = \frac{1}{2} ( -\sqrt[3]{\sqrt{\cos^2 A-1}-\cos A} +\sqrt[3]{\sqrt{\cos^2 A-1}+\cos A})\end{aligned}$$

于是我们可以写出:$cos 15^{\circ}=\frac{\sqrt{\sqrt{3}+2}}{2}$

$$\begin{aligned}\cos 3^{\circ}=\cos(18^{\circ}-15^{\circ})= \\ \frac{\sqrt{2\sqrt{15}+4\sqrt{5}+10\sqrt{3}+20}+\sqrt{2\sqrt{15}-4\sqrt{5}-6\sqrt{3}+12}}{8}\end{aligned}$$

于是就不难写出cos 1°了。当然现在看来,这个东西只能作为一种存在性证明,没有用多大的实用价值。

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苏剑林. (2011, Jun 26). 《cos 1°的根式表达式 》[Blog post]. Retrieved from https://kexue.fm/archives/1385