两个多元正态分布的KL散度、巴氏距离和W距离
By 苏剑林 | 2021-07-08 | 108413位读者 | 引用正态分布是最常见的连续型概率分布之一。它是给定均值和协方差后的最大熵分布(参考《“熵”不起:从熵、最大熵原理到最大熵模型(二)》),也可以看作任意连续型分布的二阶近似,它的地位就相当于一般函数的线性近似。从这个角度来看,正态分布算得上是最简单的连续型分布了。也正因为简单,所以对于很多估计量来说,它都能写出解析解来。
本文主要来计算两个多元正态分布的几种度量,包括KL散度、巴氏距离和W距离,它们都有显式解析解。
正态分布
这里简单回顾一下正态分布的一些基础知识。注意,仅仅是回顾,这还不足以作为正态分布的入门教程。
概率密度
正态分布,也即高斯分布,是定义在$\mathbb{R}^n$上的连续型概率分布,其概率密度函数为
\begin{equation}p(\boldsymbol{x})=\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^n \det(\boldsymbol{\Sigma})}}\exp\left\{-\frac{1}{2}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})^{\top}\boldsymbol{\Sigma}^{-1}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})\right\}\end{equation}
关于WhiteningBERT原创性的疑问和沟通
By 苏剑林 | 2021-10-09 | 66930位读者 | 引用在文章《你可能不需要BERT-flow:一个线性变换媲美BERT-flow》中,笔者受到BERT-flow的启发,提出了一种名为BERT-whitening的替代方案,它比BERT-flow更简单,但多数数据集下能取得相近甚至更好的效果,此外它还可以用于对句向量降维以提高检索速度。后来,笔者跟几位合作者一起补充了BERT-whitening的实验,并将其写成了英文论文《Whitening Sentence Representations for Better Semantics and Faster Retrieval》,在今年3月29日发布在Arxiv上。
然而,大约一周后,一篇名为《WhiteningBERT: An Easy Unsupervised Sentence Embedding Approach》的论文 (下面简称WhiteningBERT)出现在Arxiv上,内容跟BERT-whitening高度重合,有读者看到后向我反馈WhiteningBERT抄袭了BERT-whitening。本文跟关心此事的读者汇报一下跟WhiteningBERT的作者之间的沟通结果。
时间节点
首先,回顾一下BERT-whitening的相关时间节点,以帮助大家捋一下事情的发展顺序:
让人惊叹的Johnson-Lindenstrauss引理:应用篇
By 苏剑林 | 2021-09-24 | 36344位读者 | 引用上一篇文章中,我们比较详细地介绍了Johnson-Lindenstrauss引理(JL引理)的理论推导,这一篇我们来关注它的应用。
作为一个内容上本身就跟降维相关的结论,JL引理最基本的自然就是作为一个降维方法来用。但除了这个直接应用外,很多看似不相关的算法,比如局部敏感哈希(LSH)、随机SVD等,本质上也依赖于JL引理。此外,对于机器学习模型来说,JL引理通常还能为我们的维度选择提供一些理论解释。
降维的工具
JL引理提供了一个非常简单直接的“随机投影”降维思路:
给定$N$个向量$v_1,v_2,\cdots,v_N\in\mathbb{R}^m$,如果想要将它降到$n$维,那么只需要从$\mathcal{N}(0,1/n)$中采样一个$n\times m$矩阵$A$,然后$Av_1,Av_2,\cdots,Av_N$就是降维后的结果。
Transformer升级之路:1、Sinusoidal位置编码追根溯源
By 苏剑林 | 2021-03-08 | 137424位读者 | 引用最近笔者做了一些理解和改进Transformer的尝试,得到了一些似乎还有价值的经验和结论,遂开一个专题总结一下,命名为“Transformer升级之路”,既代表理解上的深入,也代表结果上的改进。
作为该专题的第一篇文章,笔者将会介绍自己对Google在《Attention is All You Need》中提出来的Sinusoidal位置编码
\begin{equation}\left\{\begin{aligned}&\boldsymbol{p}_{k,2i}=\sin\Big(k/10000^{2i/d}\Big)\\
&\boldsymbol{p}_{k, 2i+1}=\cos\Big(k/10000^{2i/d}\Big)
\end{aligned}\right.\label{eq:sin}\end{equation}
的新理解,其中$\boldsymbol{p}_{k,2i},\boldsymbol{p}_{k,2i+1}$分别是位置$k$的编码向量的第$2i,2i+1$个分量,$d$是向量维度。
作为位置编码的一个显式解,Google在原论文中对它的描述却寥寥无几,只是简单提及了它可以表达相对位置信息,后来知乎等平台上也出现了一些解读,它的一些特点也逐步为大家所知,但总体而言比较零散。特别是对于“它是怎么想出来的”、“非得要这个形式不可吗”等原理性问题,还没有比较好的答案。
因此,本文主要围绕这些问题展开思考,可能在思考过程中读者会有跟笔者一样的感觉,即越思考越觉得这个设计之精妙漂亮,让人叹服~
Transformer升级之路:2、博采众长的旋转式位置编码
By 苏剑林 | 2021-03-23 | 296944位读者 | 引用上一篇文章中,我们对原始的Sinusoidal位置编码做了较为详细的推导和理解,总的感觉是Sinusoidal位置编码是一种“想要成为相对位置编码的绝对位置编码”。一般来说,绝对位置编码具有实现简单、计算速度快等优点,而相对位置编码则直接地体现了相对位置信号,跟我们的直观理解吻合,实际性能往往也更好。由此可见,如果可以通过绝对位置编码的方式实现相对位置编码,那么就是“集各家之所长”、“鱼与熊掌兼得”了。Sinusoidal位置编码隐约做到了这一点,但并不够好。
本文将会介绍我们自研的Rotary Transformer(RoFormer)模型,它的主要改动是应用了笔者构思的“旋转式位置编码(Rotary Position Embedding,RoPE)”,这是一种配合Attention机制能达到“绝对位置编码的方式实现相对位置编码”的设计。而也正因为这种设计,它还是目前唯一一种可用于线性Attention的相对位置编码。
Transformer升级之路:3、从Performer到线性Attention
By 苏剑林 | 2021-04-22 | 56746位读者 | 引用看过笔者之前的文章《线性Attention的探索:Attention必须有个Softmax吗?》和《Performer:用随机投影将Attention的复杂度线性化》的读者,可能会觉得本文的标题有点不自然,因为是先有线性Attention然后才有Performer的,它们的关系为“Performer是线性Attention的一种实现,在保证线性复杂度的同时保持了对标准Attention的近似”,所以正常来说是“从线性Attention到Performer”才对。
然而,本文并不是打算梳理线性Attention的发展史,而是打算反过来思考Performer给线性Attention所带来的启示,所以是“从Performer到线性Attention”。
激活函数
线性Attention的常见形式是
\begin{equation}Attention(\boldsymbol{Q},\boldsymbol{K},\boldsymbol{V})_i = \frac{\sum\limits_{j=1}^n \text{sim}(\boldsymbol{q}_i, \boldsymbol{k}_j)\boldsymbol{v}_j}{\sum\limits_{j=1}^n \text{sim}(\boldsymbol{q}_i, \boldsymbol{k}_j)} = \frac{\sum\limits_{j=1}^n \phi(\boldsymbol{q}_i)^{\top} \varphi(\boldsymbol{k}_j)\boldsymbol{v}_j}{\sum\limits_{j=1}^n \phi(\boldsymbol{q}_i)^{\top} \varphi(\boldsymbol{k}_j)}\end{equation}
GlobalPointer:用统一的方式处理嵌套和非嵌套NER
By 苏剑林 | 2021-05-01 | 310990位读者 | 引用(注:本文的相关内容已整理成论文《Global Pointer: Novel Efficient Span-based Approach for Named Entity Recognition》,如需引用可以直接引用英文论文,谢谢。)
本文将介绍一个称为GlobalPointer的设计,它利用全局归一化的思路来进行命名实体识别(NER),可以无差别地识别嵌套实体和非嵌套实体,在非嵌套(Flat NER)的情形下它能取得媲美CRF的效果,而在嵌套(Nested NER)情形它也有不错的效果。还有,在理论上,GlobalPointer的设计思想就比CRF更合理;而在实践上,它训练的时候不需要像CRF那样递归计算分母,预测的时候也不需要动态规划,是完全并行的,理想情况下时间复杂度是$\mathcal{O}(1)$!
简单来说,就是更漂亮、更快速、更强大!真有那么好的设计吗?不妨继续看看。
Transformer升级之路:4、二维位置的旋转式位置编码
By 苏剑林 | 2021-05-10 | 107715位读者 | 引用在之前的文章《Transformer升级之路:2、博采众长的旋转式位置编码》中我们提出了旋转式位置编码RoPE以及对应的Transformer模型RoFormer。由于笔者主要研究的领域还是NLP,所以本来这个事情对于笔者来说已经完了。但是最近一段时间,Transformer模型在视觉领域也大火,各种Vision Transformer(ViT)层出不穷,于是就有了问题:二维情形的RoPE应该是怎样的呢?
咋看上去,这个似乎应该只是一维情形的简单推广,但其中涉及到的推导和理解却远比我们想象中复杂,本文就对此做一个分析,从而深化我们对RoPE的理解。
二维RoPE
什么是二维位置?对应的二维RoPE又是怎样的?它的难度在哪里?在这一节中,我们先简单介绍二维位置,然后直接给出二维RoPE的结果和推导思路,在随后的几节中,我们再详细给出推导过程。
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