科学空间|Scientific Spaces

在学习正项级数的时候，我们的数学分析教材提供了各种判别法，比如积分判别法、比较判别法，并由此衍生出了根植法、比值法等，在最后提供了一个比较精细的“Raabe判别法”。这些方法的精度（强度）各不相同，一般认为“Raabe判别法”的应用范围最广的。但是在我看来，基于p级数的比较判别法已经可以用于所有题目了，它才是最强的方法。

p级数就是我们熟悉的
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$$

通过积分判别法可以得到当p>1时该级数收敛，反之发散。虽然我不能证明，但是我觉得以下结论是成立的：

若正项级数$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$收敛，则总可以找到一个常数A以及一个大于1的常数p，使每项都有$a_n < \frac{A}{n^p}$。

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迈克尔·法拉第肖像画

这段时间我接触的物理学都是场论，从各种方面为广义相对论奠基。自我感觉，我的数学基础还算可以的，但是物理“底蕴”就不够了，通常是能够把物理理论的数学描述看懂，但是对每一步的物理基础和来源却不甚了解，真是“数学有余而物理不足”呀。陶醉在场论的海洋一段时间之后，对场论也有了个大概的印象。但是有一个最基础的问题，直到今天我才算是得到了比较满意的解答——为什么要引入场？

在传统的牛顿力学中并没有“场”这一概念，比如天体力学我们只需要考虑天体之间的相互作用力就可以完美解决很多问题，根本不需要场。估计广大读者首次接触到“场”的概念是在高中学习电学的时候，那时教科书给我们带来了电场、场线等诸多诡异的概念。事实上就是如此，可以这样说，历史上“场”是为了电磁学而诞生的——法拉第首次引入的场线具有独特的魅力。

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半个多月没有写文章了，一是因为接近期末考了，比较忙，当然最主要的原因还是人变懒了，呵呵，别人是忙里偷闲，我是闲里偷懒了。

这篇文章主要跟大家分享一下相对论动力学的知识。我们之前已经接触过相对论的坐标变换了，接下来的任务应该是把经典力学的动力学定律改成为相对论版本的，这显然也是学习场论的必经之路——懂得如何构造力学定律的相对版版本，是懂得构造相对论性场的基础。和朗道的《力学》与《场论》一样，我们的主线就是“最小作用量原理”。让我们回忆一下，在经典力学中，一个自由粒子的作用量是

$$S_m=\int Ldt=\int \frac{1}{2} m v^2dt$$

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一个多月的暑假已经结束了，又回到了学校来。准确地说，昨天已经来到了学校，只是着搞卫生、社团等工作，无暇到blog上写点什么。早晨起来，一时无聊，就随便唠叨几句。

暑假就这样过去了，这也意味着大一完全过去了，我已经成为了师兄。曾不止一次感叹“光阴似箭，日月如梭”，而我越发地体味到这一点。不少人到了大学之后才明白高中生活的美好，而我有点不同，我在高中已经懂得大学并没有我们想象中的完美，所以我对大学和高中都抱有同样的眷恋和期待。大一过去了，从外边看来，我唯一的变化就是瘦了，沧桑了吧。还记得时隔一年的体检，我的体重居然少了十斤，以至于让我不得不怀疑那个秤的准确性；还记得多少次被小孩子喊做“叔叔”，被师兄称作“师兄”......

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在之前的一些文章中，我们已经谈到过欧拉数学。总体上来讲，欧拉数学就是具有创造性的、直觉性的技巧和方法，这些方法能够推导出一些漂亮的结果，而方法本身却并不严密。然而，在很多情况下，严密与直觉只是一步之遥。接下来要介绍的是我上学期《数学分析》期末考的一道试题，而我解答这道题的灵感来源便是“欧拉数学”。

数列${a_n}$是递增的正数列，求证：$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{a_n}{a_{n+1}}\right)$收敛等价于${a_n}$收敛。

据说参考答案给出的方法是利用数列的柯西收敛准则，我也没有仔细去看，我在探索自己的更富有直觉型的方法。这就是所谓的“I do not understand what I can not create.”。下面是我的思路。

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马里乌斯·索菲斯·李

在这篇日志发表之前，科学空间在整个十月就只是在国庆期间发了一篇小感想，这是比较少见的。一个小原因是这学期社团（广播台）方面的活动有点多，当然这不是主要的，其实这个月我大多数课余时间放到了两件事情上：一是无线电路的入门，二就是本文所要讲的《求解微分方程的李对称方法》。

李对称方法主要是通过发现微分方程的对称性来求解微分方程。我首次接触到这个方法是在一本叫《微分方程与数学物理问题》的书上边，书中写得很清晰易懂，后来我还买了类似的《微分方程的对称与积分方法》，后者相对抽象一些，讨论也深入一些。在我目前发现的中文书籍中，这是唯一的两本以李对称方法求解微分方程为主题的书。这两本书还有一个共同特点，就是它们都是外国教材的翻译版。

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最近的我的主要学习是在研究路径积分，在推导路径积分的一种新的变换方法（或者是一个新的视角吧），但是有道坎还是迈不过去，因此blog中也一直更新寥寥。说到积分与微分，这两个本是互逆的东西，但是在复数的统一之下，它们两个去可以相互转化。比如说，薛定谔方程是量子力学的微分形式，而路径积分实际上可以说是量子力学的积分形式，这让我有些想法，是不是任何微分形式的数学都存在一个积分形式的版本呢？如果是，是微分版本优还是积分版本优？

在数学分析中，我们会感觉到求导会比求积分容易很多，求导有现成的公式等等。但是微分有个最大的缺点，它是多分量的，比如，势函数是一个标量，但是微分（求梯度）之后就变成了三分量的矢量（即作用力），多分量事实上是不好处理了，为了处理这类问题，又引入了大量的算符。积分的特点在于它的标量性，也许计算很复杂，但是思想确实容易把握的，我更喜欢积分形式的理论（比如作用量原理、路径积分等。）

说到数学分析中常见而又著名的定积分，不得不提到以下三角函数积分了。
$$\int_0^{\pi/2} \sin^{2n} \theta d\theta$$
不难证明，它也等于
$$\int_0^{\pi/2} \cos^{2n} \theta d\theta$$

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阿达马不等式
设有$n$阶实矩阵$\boldsymbol{A}=(a_{ij})_{n\times n}$，那么它的行列式满足阿达马(Hadamard)不等式
$$\begin{equation}
\left(\det \boldsymbol{A}\right)^2 \leq \prod\limits_{i=1}^{n}\left(a_{1i}^2+a_{2i}^2+\dots+a_{ni}^2\right)
\end{equation}$$

这是阿达马在1893年首先发表的。根据体积就是行列式的说法，上述不等式具有相当明显的几何意义。当$n=2$时，它就是说平行四边形的面积不大于两边长的乘积；当$n=3$时，它就是说平行六面体的体积不大于三条棱长的乘积；高维可以类比。这些结论在几何中几乎都是“显然成立”的东西。因此很难理解为什么这个不等式在1893年才被发现。当然，代数不会接受如此笼统的说法，它需要严格的证明。

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