生成扩散模型漫谈(五):一般框架之SDE篇
By 苏剑林 | 2022-08-03 | 184853位读者 |在写生成扩散模型的第一篇文章时,就有读者在评论区推荐了宋飏博士的论文《Score-Based Generative Modeling through Stochastic Differential Equations》,可以说该论文构建了一个相当一般化的生成扩散模型理论框架,将DDPM、SDE、ODE等诸多结果联系了起来。诚然,这是一篇好论文,但并不是一篇适合初学者的论文,里边直接用到了随机微分方程(SDE)、Fokker-Planck方程、得分匹配等大量结果,上手难度还是颇大的。
不过,在经过了前四篇文章的积累后,现在我们可以尝试去学习一下这篇论文了。在接下来的文章中,笔者将尝试从尽可能少的理论基础出发,尽量复现原论文中的推导结果。
随机微分 #
在DDPM中,扩散过程被划分为了固定的$T$步,还是用《生成扩散模型漫谈(一):DDPM = 拆楼 + 建楼》的类比来说,就是“拆楼”和“建楼”都被事先划分为了$T$步,这个划分有着相当大的人为性。事实上,真实的“拆”、“建”过程应该是没有刻意划分的步骤的,我们可以将它们理解为一个在时间上连续的变换过程,可以用随机微分方程(Stochastic Differential Equation,SDE)来描述。
为此,我们用下述SDE描述前向过程(“拆楼”):
\begin{equation}d\boldsymbol{x} = \boldsymbol{f}_t(\boldsymbol{x}) dt + g_t d\boldsymbol{w}\label{eq:sde-forward}\end{equation}
相信很多读者都对SDE很陌生,笔者也只是在硕士阶段刚好接触过一段时间,略懂皮毛。不过不懂不要紧,我们只需要将它看成是下述离散形式在$\Delta t\to 0$时的极限:
\begin{equation}\boldsymbol{x}_{t+\Delta t} - \boldsymbol{x}_t = \boldsymbol{f}_t(\boldsymbol{x}_t) \Delta t + g_t \sqrt{\Delta t}\boldsymbol{\varepsilon},\quad \boldsymbol{\varepsilon}\sim \mathcal{N}(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{I})\label{eq:sde-discrete}\end{equation}
再直白一点,如果假设拆楼需要$1$天,那么拆楼就是$\boldsymbol{x}$从$t=0$到$t=1$的变化过程,每一小步的变化我们可以用上述方程描述。至于时间间隔$\Delta t$,我们并没有做特殊限制,只是越小的$\Delta t$意味着是对原始SDE越好的近似,如果取$\Delta t=0.001$,那就对应于原来的$T=1000$,如果是$\Delta t = 0.01$则对应于$T=100$,等等。也就是说,在连续时间的SDE视角之下,不同的$T$是SDE不同的离散化程度的体现,它们会自动地导致相似的结果,我们不需要事先指定$T$,而是根据实际情况下的精确度来取适当的$T$进行数值计算。
所以,引入SDE形式来描述扩散模型的本质好处是“将理论分析和代码实现分离开来”,我们可以借助连续性SDE的数学工具对它做分析,而实践的时候,则只需要用任意适当的离散化方案对SDE进行数值计算。
对于式$\eqref{eq:sde-discrete}$,读者可能比较有疑惑的是为什么右端第一项是$\mathcal{O}(\Delta t)$的,而第二项是$\mathcal{O}(\sqrt{\Delta t})$的?也就是说为什么随机项的阶要比确定项的阶要高?这个还真不是那么容易解释,也是SDE比较让人迷惑的地方之一。简单来说,就是$\boldsymbol{\varepsilon}$一直服从标准正态分布,如果随机项的权重也是$\mathcal{O}(\Delta t)$,那么由于标准正态分布的均值为$\boldsymbol{0}$、协方差为$ \boldsymbol{I}$,临近的随机效应会相互抵消掉,要放大到$\mathcal{O}(\sqrt{\Delta t})$才能在长期结果中体现出随机效应的作用。
逆向方程 #
用概率的语言,式$\eqref{eq:sde-discrete}$意味着条件概率为
\begin{equation}\begin{aligned}
p(\boldsymbol{x}_{t+\Delta t}|\boldsymbol{x}_t) =&\, \mathcal{N}\left(\boldsymbol{x}_{t+\Delta t};\boldsymbol{x}_t + \boldsymbol{f}_t(\boldsymbol{x}_t) \Delta t, g_t^2\Delta t \,\boldsymbol{I}\right)\\
\propto&\, \exp\left(-\frac{\Vert\boldsymbol{x}_{t+\Delta t} - \boldsymbol{x}_t - \boldsymbol{f}_t(\boldsymbol{x}_t) \Delta t\Vert^2}{2 g_t^2\Delta t}\right)
\end{aligned}\label{eq:sde-proba}\end{equation}
简单起见,这里没有写出无关紧要的归一化因子。按照DDPM的思想,我们最终是想要从“拆楼”的过程中学会“建楼”,即得到$p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_{t+\Delta t})$,为此,我们像《生成扩散模型漫谈(三):DDPM = 贝叶斯 + 去噪》一样,用贝叶斯定理:
\begin{equation}\begin{aligned}
p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_{t+\Delta t}) =&\, \frac{p(\boldsymbol{x}_{t+\Delta t}|\boldsymbol{x}_t)p(\boldsymbol{x}_t)}{p(\boldsymbol{x}_{t+\Delta t})} = p(\boldsymbol{x}_{t+\Delta t}|\boldsymbol{x}_t) \exp\left(\log p(\boldsymbol{x}_t) - \log p(\boldsymbol{x}_{t+\Delta t})\right)\\
\propto&\, \exp\left(-\frac{\Vert\boldsymbol{x}_{t+\Delta t} - \boldsymbol{x}_t - \boldsymbol{f}_t(\boldsymbol{x}_t) \Delta t\Vert^2}{2 g_t^2\Delta t} + \log p(\boldsymbol{x}_t) - \log p(\boldsymbol{x}_{t+\Delta t})\right)
\end{aligned}\label{eq:bayes-dt}\end{equation}
不难发现,当$\Delta t$足够小时,只有当$\boldsymbol{x}_{t+\Delta t}$与$\boldsymbol{x}_t$足够接近时,$p(\boldsymbol{x}_{t+\Delta t}|\boldsymbol{x}_t)$才会明显不等于0,反过来也只有这种情况下$p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_{t+\Delta t})$才会明显不等于0。因此,我们只需要对$\boldsymbol{x}_{t+\Delta t}$与$\boldsymbol{x}_t$足够接近时的情形做近似分析,为此,我们可以用泰勒展开:
\begin{equation}\log p(\boldsymbol{x}_{t+\Delta t})\approx \log p(\boldsymbol{x}_t) + (\boldsymbol{x}_{t+\Delta t} - \boldsymbol{x}_t)\cdot \nabla_{\boldsymbol{x}_t}\log p(\boldsymbol{x}_t) + \Delta t \frac{\partial}{\partial t}\log p(\boldsymbol{x}_t)\end{equation}
注意不要忽略了$\frac{\partial}{\partial t}$项,因为$p(\boldsymbol{x}_t)$实际上是“$t$时刻随机变量等于$\boldsymbol{x}_t$的概率密度”,而$p(\boldsymbol{x}_{t+\Delta t})$实际上是“$t+\Delta t$时刻随机变量等于$\boldsymbol{x}_{t+\Delta t}$的概率密度”,也就是说$p(\boldsymbol{x}_t)$实际上同时是$t$和$\boldsymbol{x}_t$的函数,所以要多一项$t$的偏导数。代入到式$\eqref{eq:bayes-dt}$后,配方得到
\begin{equation}p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_{t+\Delta t}) \propto \exp\left(-\frac{\Vert\boldsymbol{x}_{t+\Delta t} - \boldsymbol{x}_t - \left[\boldsymbol{f}_t(\boldsymbol{x}_t) - g_t^2\nabla_{\boldsymbol{x}_t}\log p(\boldsymbol{x}_t) \right]\Delta t\Vert^2}{2 g_t^2\Delta t} + \mathcal{O}(\Delta t)\right)\end{equation}
当$\Delta t\to 0$时,$\mathcal{O}(\Delta t)\to 0$不起作用,因此
\begin{equation}\begin{aligned}
p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_{t+\Delta t}) \propto&\, \exp\left(-\frac{\Vert\boldsymbol{x}_{t+\Delta t} - \boldsymbol{x}_t - \left[\boldsymbol{f}_t(\boldsymbol{x}_t) - g_t^2\nabla_{\boldsymbol{x}_t}\log p(\boldsymbol{x}_t) \right]\Delta t\Vert^2}{2 g_t^2\Delta t}\right) \\
\approx&\,\exp\left(-\frac{\Vert \boldsymbol{x}_t - \boldsymbol{x}_{t+\Delta t} + \left[\boldsymbol{f}_{t+\Delta t}(\boldsymbol{x}_{t+\Delta t}) - g_{t+\Delta t}^2\nabla_{\boldsymbol{x}_{t+\Delta t}}\log p(\boldsymbol{x}_{t+\Delta t}) \right]\Delta t\Vert^2}{2 g_{t+\Delta t}^2\Delta t}\right)
\end{aligned}\end{equation}
即$p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_{t+\Delta t})$近似一个均值为$\boldsymbol{x}_{t+\Delta t} - \left[\boldsymbol{f}_{t+\Delta t}(\boldsymbol{x}_{t+\Delta t}) - g_{t+\Delta t}^2\nabla_{\boldsymbol{x}_{t+\Delta t}}\log p(\boldsymbol{x}_{t+\Delta t}) \right]\Delta t$、协方差为$g_{t+\Delta t}^2\Delta t\,\boldsymbol{I}$的正态分布,取$\Delta t\to 0$的极限,那么对应于SDE:
\begin{equation}d\boldsymbol{x} = \left[\boldsymbol{f}_t(\boldsymbol{x}) - g_t^2\nabla_{\boldsymbol{x}}\log p_t(\boldsymbol{x}) \right] dt + g_t d\boldsymbol{w}\label{eq:reverse-sde}\end{equation}
这就是反向过程对应的SDE,最早出现在《Reverse-Time Diffusion Equation Models》中。这里我们特意在$p$处标注了下标$t$,以突出这是$t$时刻的分布。
得分匹配 #
现在我们已经得到了逆向的SDE为$\eqref{eq:reverse-sde}$,如果进一步知道$\nabla_{\boldsymbol{x}}\log p_t(\boldsymbol{x})$,那么就可以通过离散化格式
\begin{equation}\boldsymbol{x}_t - \boldsymbol{x}_{t+\Delta t} = - \left[\boldsymbol{f}_{t+\Delta t}(\boldsymbol{x}_{t+\Delta t}) - g_{t+\Delta t}^2\nabla_{\boldsymbol{x}_{t+\Delta t}}\log p(\boldsymbol{x}_{t+\Delta t}) \right]\Delta t - g_{t+\Delta t} \sqrt{\Delta t}\boldsymbol{\varepsilon}\label{eq:reverse-sde-discrete}\end{equation}
来逐步完成“建楼”的生成过程【其中$\boldsymbol{\varepsilon}\sim \mathcal{N}(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{I})$】,从而完成一个生成扩散模型的构建。
那么如何得到$\nabla_{\boldsymbol{x}}\log p_t(\boldsymbol{x})$呢?$t$时刻的$p_t(\boldsymbol{x})$就是前面的$p(\boldsymbol{x}_t)$,它的含义就是$t$时刻的边缘分布。在实际使用时,我们一般会设计能找到$p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)$解析解的模型,这意味着
\begin{equation}\small p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0) = \lim_{\Delta t\to 0}\int\cdots\iint p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_{t-\Delta t})p(\boldsymbol{x}_{t-\Delta t}|\boldsymbol{x}_{t-2\Delta t})\cdots p(\boldsymbol{x}_{\Delta t}|\boldsymbol{x}_0) d\boldsymbol{x}_{t-\Delta t} d\boldsymbol{x}_{t-2\Delta t}\cdots d\boldsymbol{x}_{\Delta t}\end{equation}
是可以直接求出的,比如当$\boldsymbol{f}_t(\boldsymbol{x})$是关于$\boldsymbol{x}$的线性函数时,$p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)$就可以解析求解。在此前提下,有
\begin{equation}p(\boldsymbol{x}_t) = \int p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)\tilde{p}(\boldsymbol{x}_0)d\boldsymbol{x}_0=\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0}\left[p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)\right]\end{equation}
于是
\begin{equation}\nabla_{\boldsymbol{x}_t}\log p(\boldsymbol{x}_t) = \frac{\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0}\left[\nabla_{\boldsymbol{x}_t} p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)\right]}{\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0}\left[p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)\right]} = \frac{\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0}\left[p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)\nabla_{\boldsymbol{x}_t} \log p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)\right]}{\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0}\left[p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)\right]}\end{equation}
可以看到最后的式子具有“$\nabla_{\boldsymbol{x}_t} \log p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)$的加权平均”的形式,由于假设了$p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)$有解析解,因此上式实际上是能够直接估算的,然而它涉及到对全体训练样本$\boldsymbol{x}_0$的平均,一来计算量大,二来泛化能力也不够好。因此,我们希望用神经网络学一个函数$\boldsymbol{s}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t)$,使得它能够直接计算$\nabla_{\boldsymbol{x}_t}\log p(\boldsymbol{x}_t)$。
很多读者应该对如下结果并不陌生(或者推导一遍也不困难):
\begin{equation}\mathbb{E}[\boldsymbol{x}] = \mathop{\text{argmin}}_{\boldsymbol{\mu}}\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}}\left[\Vert \boldsymbol{\mu} - \boldsymbol{x}\Vert^2\right]\end{equation}
即要让$\boldsymbol{\mu}$等于$\boldsymbol{x}$的均值,只需要最小化$\Vert \boldsymbol{\mu} - \boldsymbol{x}\Vert^2$的均值。同理,要让$\boldsymbol{s}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t)$等于$\nabla_{\boldsymbol{x}_t} \log p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)$的加权平均【即$\nabla_{\boldsymbol{x}_t}\log p(\boldsymbol{x}_t)$】,则只需要最小化$\left\Vert \boldsymbol{s}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t) - \nabla_{\boldsymbol{x}_t} \log p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)\right\Vert^2$的加权平均,即
\begin{equation} \frac{\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0}\left[p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)\left\Vert \boldsymbol{s}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t) - \nabla_{\boldsymbol{x}_t} \log p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)\right\Vert^2\right]}{\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0}\left[p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)\right]}\end{equation}
分母的$\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0}\left[p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)\right]$只是起到调节Loss权重的作用,简单起见我们可以直接去掉它,这不会影响最优解的结果。最后我们再对$\boldsymbol{x}_t$积分(相当于对于每一个$\boldsymbol{x}_t$都要最小化上述损失),得到最终的损失函数
\begin{equation}\begin{aligned}&\,\int \mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0}\left[p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)\left\Vert \boldsymbol{s}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t) - \nabla_{\boldsymbol{x}_t} \log p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)\right\Vert^2\right] d\boldsymbol{x}_t \\
=&\, \mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{x}_t \sim p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)\tilde{p}(\boldsymbol{x}_0)}\left[\left\Vert \boldsymbol{s}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t) - \nabla_{\boldsymbol{x}_t} \log p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)\right\Vert^2\right]
\end{aligned}\label{eq:score-match}\end{equation}
这就是“(条件)得分匹配”的损失函数,之前我们在《从去噪自编码器到生成模型》推导的去噪自编码器的解析解,也是它的一个特例。得分匹配的最早出处可以追溯到2005年的论文《Estimation of Non-Normalized Statistical Models by Score Matching》,至于条件得分匹配的最早出处,笔者追溯到的是2011年的论文《A Connection Between Score Matching and Denoising Autoencoders》。
不过,虽然该结果跟得分匹配是一样的,但其实在这一节的推导中,我们已经抛开了“得分”的概念了,纯粹是由目标自然地引导出来的答案,笔者认为这样的处理过程更有启发性,希望这一推导能降低大家对得分匹配的理解难度。
结果倒推 #
至此,我们构建了生成扩散模型的一般流程:
1、通过随机微分方程$\eqref{eq:sde-forward}$定义“拆楼”(前向过程);
2、求$p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)$的表达式;
3、通过损失函数$\eqref{eq:score-match}$训练$\boldsymbol{s}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t)$(得分匹配);
4、用$\boldsymbol{s}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t)$替换式$\eqref{eq:reverse-sde}$的$\nabla_{\boldsymbol{x}}\log p_t(\boldsymbol{x})$,完成“建楼”(反向过程)。
可能大家看到SDE、微分方程等字眼,天然就觉得“恐慌”,但本质上来说,SDE只是个“幌子”,实际上将对SDE的理解转换到式$\eqref{eq:sde-discrete}$和式$\eqref{eq:sde-proba}$上后,完全就可以抛开SDE的概念了,因此概念上其实是没有太大难度的。
不难发现,定义一个随机微分方程$\eqref{eq:sde-forward}$是很容易的,但是从$\eqref{eq:sde-forward}$求解$p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)$却是不容易的。原论文的剩余篇幅,主要是对两个有实用性的例子推导和实验。然而,既然求解$p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)$不容易,那么按照笔者的看法,与其先定义$\eqref{eq:sde-forward}$再求解$p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)$,倒不如像DDIM一样,先定义$p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)$,然后再来反推对应的SDE?
例如,我们先定义
\begin{equation} p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0) = \mathcal{N}(\boldsymbol{x}_t; \bar{\alpha}_t \boldsymbol{x}_0,\bar{\beta}_t^2 \boldsymbol{I})\end{equation}
并且不失一般性假设起点是$t=0$,终点是$t=1$,那么$\bar{\alpha}_t,\bar{\beta}_t$要满足的边界就是
\begin{equation} \bar{\alpha}_0 = 1,\quad \bar{\alpha}_1 = 0,\quad \bar{\beta}_0 = 0,\quad \bar{\beta}_1 = 1\end{equation}
当然,上述边界条件理论上足够近似就行,也不一定非要精确相等,比如上一篇文章我们分析过DDPM相当于选择了$\bar{\alpha}_t = e^{-5t^2}$,当$t=1$时结果为$e^{-5}\approx 0$。
有了$p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)$,我们去反推$\eqref{eq:sde-forward}$,本质上就是要求解$p(\boldsymbol{x}_{t+\Delta t}|\boldsymbol{x}_t)$,它要满足
\begin{equation} p(\boldsymbol{x}_{t+\Delta t}|\boldsymbol{x}_0) = \int p(\boldsymbol{x}_{t+\Delta t}|\boldsymbol{x}_t) p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0) d\boldsymbol{x}_t\end{equation}
我们考虑线性的解,即
\begin{equation}d\boldsymbol{x} = f_t\boldsymbol{x} dt + g_t d\boldsymbol{w}\end{equation}
跟《生成扩散模型漫谈(四):DDIM = 高观点DDPM》一样,我们写出
\begin{array}{c|c|c}
\hline
\text{记号} & \text{含义} & \text{采样}\\
\hline
p(\boldsymbol{x}_{t+\Delta t}|\boldsymbol{x}_0) & \mathcal{N}(\boldsymbol{x}_t;\bar{\alpha}_{t+\Delta t} \boldsymbol{x}_0,\bar{\beta}_{t+\Delta t}^2 \boldsymbol{I}) & \boldsymbol{x}_{t+\Delta t} = \bar{\alpha}_{t+\Delta t} \boldsymbol{x}_0 + \bar{\beta}_{t+\Delta t} \boldsymbol{\varepsilon} \\
\hline
p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0) & \mathcal{N}(\boldsymbol{x}_t;\bar{\alpha}_t \boldsymbol{x}_0,\bar{\beta}_t^2 \boldsymbol{I}) & \boldsymbol{x}_t = \bar{\alpha}_t \boldsymbol{x}_0 + \bar{\beta}_t \boldsymbol{\varepsilon}_1 \\
\hline
p(\boldsymbol{x}_{t+\Delta t}|\boldsymbol{x}_t) & \mathcal{N}(\boldsymbol{x}_{t+\Delta t}; (1 + f_t\Delta t) \boldsymbol{x}_t, g_t^2 \Delta t\, \boldsymbol{I}) & \boldsymbol{x}_{t+\Delta t} = (1 + f_t\Delta t) \boldsymbol{x}_t + g_t\sqrt{\Delta t}\boldsymbol{\varepsilon}_2 \\
\hline
{\begin{array}{c}\int p(\boldsymbol{x}_{t+\Delta t}|\boldsymbol{x}_t) \\
p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0) d\boldsymbol{x}_t\end{array}} & & {\begin{aligned}&\,\boldsymbol{x}_{t+\Delta t} \\
=&\, (1 + f_t\Delta t) \boldsymbol{x}_t + g_t\sqrt{\Delta t} \boldsymbol{\varepsilon}_2 \\
=&\, (1 + f_t\Delta t) (\bar{\alpha}_t \boldsymbol{x}_0 + \bar{\beta}_t \boldsymbol{\varepsilon}_1) + g_t\sqrt{\Delta t} \boldsymbol{\varepsilon}_2 \\
=&\, (1 + f_t\Delta t) \bar{\alpha}_t \boldsymbol{x}_0 + ((1 + f_t\Delta t)\bar{\beta}_t \boldsymbol{\varepsilon}_1 + g_t\sqrt{\Delta t} \boldsymbol{\varepsilon}_2) \\
\end{aligned}} \\
\hline
\end{array}
由此可得
\begin{equation}\begin{aligned}
\bar{\alpha}_{t+\Delta t} =&\, (1 + f_t\Delta t) \bar{\alpha}_t \\
\bar{\beta}_{t+\Delta t}^2 =&\, (1 + f_t\Delta t)^2\bar{\beta}_t^2 + g_t^2\Delta t
\end{aligned}\end{equation}
令$\Delta t\to 0$,分别解得
\begin{equation}
f_t = \frac{d}{dt} \left(\ln \bar{\alpha}_t\right) = \frac{1}{\bar{\alpha}_t}\frac{d\bar{\alpha}_t}{dt}, \quad g_t^2 = \bar{\alpha}_t^2 \frac{d}{dt}\left(\frac{\bar{\beta}_t^2}{\bar{\alpha}_t^2}\right) = 2\bar{\alpha}_t \bar{\beta}_t \frac{d}{dt}\left(\frac{\bar{\beta}_t}{\bar{\alpha}_t}\right)\end{equation}
取$\bar{\alpha}_t\equiv 1$时,结果就是论文中的VE-SDE(Variance Exploding SDE);而如果取$\bar{\alpha}_t^2 + \bar{\beta}_t^2=1$时,结果就是原论文中的VP-SDE(Variance Preserving SDE)。
至于损失函数,此时我们可以算得
\begin{equation}\nabla_{\boldsymbol{x}_t} \log p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0) = -\frac{\boldsymbol{x}_t - \bar{\alpha}_t\boldsymbol{x}_0}{\bar{\beta}_t^2}=-\frac{\boldsymbol{\varepsilon}}{\bar{\beta}_t}\end{equation}
第二个等号是因为$\boldsymbol{x}_t = \bar{\alpha}_t\boldsymbol{x}_0 + \bar{\beta}_t\boldsymbol{\varepsilon}$,为了跟以往的结果对齐,我们设$\boldsymbol{s}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t) = -\frac{\boldsymbol{\epsilon}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t)}{\bar{\beta}_t}$,此时式$\eqref{eq:score-match}$为
\begin{equation}\frac{1}{\bar{\beta}_t^2}\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0\sim \tilde{p}(\boldsymbol{x}_0),\boldsymbol{\varepsilon}\sim\mathcal{N}(\boldsymbol{0},\boldsymbol{I})}\left[\left\Vert \boldsymbol{\epsilon}_{\boldsymbol{\theta}}(\bar{\alpha}_t\boldsymbol{x}_0 + \bar{\beta}_t\boldsymbol{\varepsilon}, t) - \boldsymbol{\varepsilon}\right\Vert^2\right]\end{equation}
忽略系数后就是DDPM的损失函数,而用$-\frac{\boldsymbol{\epsilon}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_{t+\Delta t}, t+\Delta t)}{\bar{\beta}_{t+\Delta t}}$替换掉式$\eqref{eq:reverse-sde-discrete}$的$\nabla_{\boldsymbol{x}_{t+\Delta t}}\log p(\boldsymbol{x}_{t+\Delta t})$后,结果与DDPM的采样过程具有相同的一阶近似(意味着$\Delta t\to 0$时两者等价)。
文章小结 #
本文主要介绍了宋飏博士建立的利用SDE理解扩散模型的一般框架,其中包括以尽可能直观的语言推导了反向SDE、得分匹配等结果,并对方程的求解给出了自己的想法。
转载到请包括本文地址:https://kexue.fm/archives/9209
更详细的转载事宜请参考:《科学空间FAQ》
如果您还有什么疑惑或建议,欢迎在下方评论区继续讨论。
如果您觉得本文还不错,欢迎分享/打赏本文。打赏并非要从中获得收益,而是希望知道科学空间获得了多少读者的真心关注。当然,如果你无视它,也不会影响你的阅读。再次表示欢迎和感谢!
如果您需要引用本文,请参考:
苏剑林. (Aug. 03, 2022). 《生成扩散模型漫谈(五):一般框架之SDE篇 》[Blog post]. Retrieved from https://kexue.fm/archives/9209
@online{kexuefm-9209,
title={生成扩散模型漫谈(五):一般框架之SDE篇},
author={苏剑林},
year={2022},
month={Aug},
url={\url{https://kexue.fm/archives/9209}},
}
April 25th, 2023
写的太好了,很佩服苏神!观点高屋建瓴、讲解清晰明了
May 5th, 2023
苏神谢谢您的整理!我有个问题就是在5式中泰勒展开我看您是把他当作确定性问题展开的,保留了一阶 delta x。但是继续展开的话二阶布朗运动变差不应该还是一阶的吗?对比伊藤公式您这个右端少了这一项,可以问一下为什么吗?
这里可能确实可能有些不严谨的地方,但结果是对的,因为对比后面的结果就会发现,其实即便是现有的$\Delta t$的一阶项最后也被省略了,也就是说$\Delta t$的一阶项实则上不影响最终结果。
May 10th, 2023
苏神,想请教一下,就是公式$(21)$的部分,我令$\bar\alpha_t=1$能得到和原论文VE SDE一样的结果,但是令$\bar\alpha_t^2+\bar\beta_t^2=1$得到的是:
$$
dx=\frac{1}{\bar\alpha_t}\frac{d\bar\alpha_t}{dt}x\ dx-2\frac{1}{\bar\alpha_t}\frac{d\bar\alpha_t}{dt}dw
$$
想了半天也没能和$dx=-\frac{1}{2}\beta^2_tx\ dx+\beta_tdw$对应起来( ´•̥̥̥ω•̥̥̥` ),请问是什么原因呢?
顺便纠一个typo,表格采样列第4行的$\triangle t$忘记加根号了哦
已修正,谢谢
直接代入应该是$f_t = \frac{d}{dt} \left(\ln \bar{\alpha}_t\right),g_t^2 = -2\frac{d}{dt} \left(\ln \bar{\alpha}_t\right)=-2f_t$,所以方程应该是
$$dx = f_t x dt + g_t dw = -\frac{1}{2}g_t^2 x dt + g_t dw$$
您好,这里应该有一个笔误:$dx = f_t x dt + g_t dw$
还有一个问题是:这里得到$dx = -\frac{1}{2}g_t^2\times x dt + g_t dw$,根据和VP-SDE的对应,这里$g_t$应该为$g_t = \beta_t = \sqrt{1 - \alpha_t}$
但是根据$f_t = \frac{d(\mathrm ln \alpha_t)}{dt}$和$g^2_t = -2f_t$,似乎不能推出$gt = \sqrt{1 - \alpha_t}$
笔误已更正,谢谢。
你这里说的是$\bar{\alpha}$还是$\alpha$?是本系列文章中的$\alpha$($\bar{\alpha}$)还是原始论文中的$\alpha$($\bar{\alpha}$)?看上去你打算说的是$\bar{\alpha}$?如果是$\bar{\alpha}$的话,$\beta$应该改为$\bar{\beta}$,但$g_t=\bar{\beta}$显然不成立啊?
May 30th, 2023
谢谢博主的分享,看了以后豁然开朗!博主好人一生平安!
June 19th, 2023
谢谢博主的分享,怎么得到公式22呢
代入$(16)$的概率密度函数直接计算。
June 29th, 2023
公式8是怎么根据均值方差推过来的呢,是用$x_t$的采样吗,有点没明白
$(1)$与$(2)$的对应关系
June 30th, 2023
希望能添加将正文右侧的导航栏收起的功能
现在这样得偏着脖子看
感谢大佬的文章,正在学习
这个可能不大好支持(捂脸)
July 8th, 2023
请教一下公式4,Δt足够小时,只有当xt+Δt与xt足够接近时,p(xt+Δt|xt)才会明显不等于0,这段可以简单推导一下吗?
直观理解,因为$\boldsymbol{x}_{t+\Delta t}$是由$\boldsymbol{x}_t$通过式$\eqref{eq:sde-discrete}$演化过来的,所以这句话是显然成立的。
如果你非要一个(本末倒置的)推导,那就是式$\eqref{eq:bayes-dt}$的指数部分,主项还是
$$-\frac{\Vert\boldsymbol{x}_{t+\Delta t} - \boldsymbol{x}_t - \boldsymbol{f}_t(\boldsymbol{x}_t) \Delta t\Vert^2}{2 g_t^2\Delta t}$$
它对应于方差很小的正态分布,所以$\Vert\boldsymbol{x}_{t+\Delta t}$跟$\boldsymbol{x}_t - \boldsymbol{f}_t(\boldsymbol{x}_t) \Delta t$很接近,也就是$\Vert\boldsymbol{x}_{t+\Delta t}$跟$\boldsymbol{x}_t$,概率值才会比较大。
July 19th, 2023
苏老师,式子(8)右边是不算应该有个负号,左边的$dx$是reverse time,$x_t-x_{t+\Delta t}$
似乎不应该:
$$\boldsymbol{x}_t=\boldsymbol{x}_{t+\Delta t} - \left[\boldsymbol{f}_{t+\Delta t}(\boldsymbol{x}_{t+\Delta t}) - g_{t+\Delta t}^2\nabla_{\boldsymbol{x}_{t+\Delta t}}\log p(\boldsymbol{x}_{t+\Delta t}) \right]\Delta t + g_{t+\Delta t}\sqrt{\Delta t}\boldsymbol{\varepsilon}$$
August 3rd, 2023
苏老师您好, 感谢分享. 希望请教您一下式(14)的推导. (14)原式为
$$ \frac{\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0}\left[p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)\left\Vert \boldsymbol{s}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t) - \nabla_{\boldsymbol{x}_t} \log p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)\right\Vert^2\right]}{\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0}\left[p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)\right]}, $$
(13)原式为
$$
\mathbb{E}[\boldsymbol{x}] = \mathop{\arg\min}_{\boldsymbol{\mu}}\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}}\left[\Vert \boldsymbol{\mu} - \boldsymbol{x}\Vert^2\right].
$$
尝试从(13)推出(14), 应用(13), 似乎得出
$$
\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0 \sim \tilde p(\boldsymbol{x}_0)} \left[ p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0) \nabla_{\boldsymbol{x}_t} \log p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0) \right] = \mathop{\arg\min}_{\boldsymbol{s}_{\theta}(\boldsymbol{x}_t, t)} \mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0 \sim \tilde p(\boldsymbol{x}_0)} \left[ \left\Vert p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0) \nabla_{\boldsymbol{x}_t} \log p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0) - \boldsymbol{s}_{\theta}(\boldsymbol{x}_t, t) \right\Vert^2\right],
$$
因而(14)作为估计$\theta$的目标函数为,
$$ \frac{\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0}\left[ \left\Vert p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0) \nabla_{\boldsymbol{x}_t} \log p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0) - \boldsymbol{s}_{\theta}(\boldsymbol{x}_t, t) \right\Vert^2\right]}{\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0}\left[p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)\right]}, $$
与原式略有不同, 所以有些困惑这样做是否有谬误, 谢谢!
你这偷换概念啊,目标函数明明是$\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0}\left[p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)\left\Vert \boldsymbol{s}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t) - \nabla_{\boldsymbol{x}_t} \log p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)\right\Vert^2\right]$,怎么后面变成了$\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0}\left[\left\Vert p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)\nabla_{\boldsymbol{x}_t} \log p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0) - \boldsymbol{s}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t) \right\Vert^2\right]$?这两者能等价?
您好, 感谢回复. 我的问题正是二者不等价的原因, 以发现我对(14)的推导是否有谬误.
我尝试应用(13)得到(14)的分子, (13)中的$\boldsymbol{\mu}$被带入为$\boldsymbol{s}_{\theta}(\boldsymbol{x}_t, t)$, 而(13)中的$\boldsymbol{x}$被带入为$p\left(\boldsymbol{x}_t | \boldsymbol{x}_0\right) \nabla_{\boldsymbol{x}_t} \log p\left(\boldsymbol{x}_t | \boldsymbol{x}_0\right)$. (其中$p\left(\boldsymbol{x}_t | \boldsymbol{x}_0\right) \nabla_{\boldsymbol{x}_t} \log p\left(\boldsymbol{x}_t | \boldsymbol{x}_0\right)$由(12)的分子给出)
因此得到了我的原问题中的第3式
$$
\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0 \sim \tilde p(\boldsymbol{x}_0)} \left[ p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0) \nabla_{\boldsymbol{x}_t} \log p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0) \right] = \mathop{\arg\min}_{\boldsymbol{s}_{\theta}(\boldsymbol{x}_t, t)} \mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0 \sim \tilde p(\boldsymbol{x}_0)} \left[ \left\Vert p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0) \nabla_{\boldsymbol{x}_t} \log p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0) - \boldsymbol{s}_{\theta}(\boldsymbol{x}_t, t) \right\Vert^2\right],
$$
此为(12)的分子.
如您在正文中所说, (12)式的分母是常数, 所以推出的目标函数(我的提问中的第4式)的分子不同.
我前面有点搞混了,其实就是
$$\begin{equation}\mathbb{E}[\boldsymbol{x}] = \mathop{\arg\min}_{\boldsymbol{\mu}}\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}}\left[\Vert \boldsymbol{\mu} - \boldsymbol{x}\Vert^2\right]\end{equation}$$
以及
\begin{equation}\frac{\mathbb{E}[\lambda(\boldsymbol{x})\boldsymbol{x}]}{\mathbb{E}[\lambda(\boldsymbol{x})]} = \mathop{\arg\min}_{\boldsymbol{\mu}}\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}}\left[\lambda(\boldsymbol{x})\Vert \boldsymbol{\mu} - \boldsymbol{x}\Vert^2\right]\end{equation}
这都可以直接证明的,而且不难。
苏老师您好,想问一下为什么式(12)是$$\nabla_{x_t}\log p(x_t|x_0)$$的加权平均形式呢?思考了很久都没能理解,因此自己推导的时候写不出式(14)来。希望苏老师能解惑,谢谢~
那这样呢?
$$\frac{\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0}\left[p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)\nabla_{\boldsymbol{x}_t} \log p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)\right]}{\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0}\left[p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)\right]} = \frac{\int \tilde{p}(\boldsymbol{x}_0)p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)\nabla_{\boldsymbol{x}_t} \log p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0) d\boldsymbol{x}_0}{\int \tilde{p}(\boldsymbol{x}_0)p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)d\boldsymbol{x}_0}$$
感谢苏神进一步的解释!由公式(25)可以进一步得到:$\mathbb{E}_{x}[\lambda(x)f(x)]/\mathbb{E}_{x}[\lambda(x)]=argmin_{\mu}\mathbb{E}_{x}[\lambda(x)||\mu-f(x)||^2]$。这样再推出loss函数(对应公式(15))就更直观了!