科学空间|Scientific Spaces

高斯说过“数学是科学的皇后，而算术则是数学的女王。”这里的“算术”，其实就是我们现在所说的数论。从很小的时候开始，我便对数论情有独钟。虽然后来接触了很多更为有趣的数学分支，但是对数学的热情依然不减。我想，这大概是因为小时候的情结吧。小学时候，小小年纪的我，刚刚学完素数、合数、约数、整除等等概念，对数字尤其有兴趣。我想，在那时候我唯一能够读懂的数学难题只有数论这一领域吧。比如费马大定理，$x^n+y^n=z^n$，对于n大于2没有正整数解，很容易就知道它在讲什么；再比如，哥德巴赫猜想，每个大于4的偶数都可以分拆成两个奇素数之和，也很简单就弄懂它讲的是什么。所以，小小的我看懂了这些问题后就饶有兴致地摆弄数字啦，也许正因为如此，才让我对数字乃至对数学都有深厚的爱。

哥德巴赫猜想，无疑是数论中的一个璀璨明珠，可是目前来讲，它还是可望不可即的。一个看似如此简单的猜想，却困惑了数学家几百年，至今无人能解。尽管如此，我还是愿意细细地研究它，慢慢地品味它，在“论证”、或者说验算它的时候，欣赏到数学那神秘的美妙。本文主要就是研究给定偶数的“哥德巴赫分拆数”，即通过实际验算得出每个偶数分拆为两个素数之和的不同分拆方式的数目，比如6=3+3，只有一种分拆方式；8=3+5=5+3；有两种分拆方式；10=3+7=5+5=7+3，有三种分拆方式；等等。偶数2n的分拆数记为$G_2 (2n)$。

（这里定义的“分拆数”跟网上以及一般文献中的定义不同，这里把3+5和5+3看成是两种分拆方式，而网上一般的定义是只看成一种。我这里的定义的好处在于分拆方式的数目实际表示了分拆中涉及到的所有素数的个数。）

哥德巴赫猜想很难，这话没错，但是事实上哥德巴赫猜想是一个非常弱的命题。它说“每个大于4的偶数至少可以分拆成两个奇素数之和”,用上面的术语来说，就是每个偶数的“哥德巴赫分拆数”大于或等于1。可是经过实际验算发现，偶数越大，它的哥德巴赫分拆数越大，两者整体上是呈正相关关系的，比如$G_2 (100)=12,G_2 (1000)=56,G_2 (10000)=254$......所以，从强弱程度上来讲，这和“少于n的素数至少有一个”是差不多的（当然，难度有天壤之别）。

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=====大学学习=====

上大学已经一个多月了，除去军训的两周和国庆放假的一周，到现在已经是第三周上课了。我是数学专业的，由于是那个勷勤创新班，它希望我们都向研究型数学的方向发展，所以给我们“更多的自由研究时间”，所以课程比一般的班还少一点。由于高中已经对高等数学有个大概的了解，所以一开始让很多同学都喊苦的数学分析、解析几何于我而言都还是比较容易接受的。但从另外一个角度上来讲，我感觉我学得快的原因，倒不全是以前的积累，而是因为个人的学习方式。我不喜欢跟着老师的步伐走，我喜欢而且需要深入地思考和理解一个问题，希冀达到一理通百理明的效果，而不是做完一题紧接着下一题。因为我认为这种竞赛式的学习不能给我们带来实质性的进步，而且有可能抹杀了我们的创造力。

1979年爱因斯坦邮票

没有应用的数学是很枯燥乏味的，数学不能脱离物理、化学等领域。当然“应用”这个词有很广泛的意思，它不一定在实际生活中起到了立竿见影的作用，而是所有在非数学领域中体现了数学之美的例子都可以叫做数学应用，或者有趣的数学。所以，在经历了一两周纯粹地研究数学之后，我感觉我不能再这样下去了，与其零散地涉猎各个方面的知识，倒不如现在开始就系统地学习一些学科以外的科学知识。于是，我决定重拾高中还没有完成的事情——学习相对论和量子力学——所谓现代物理的两大支柱。

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本文的最新版本位于：http://kexue.fm/archives/2208/

亲爱的读者朋友们，科学空间版的理解矩阵已经来到了BoJone认为是最激动人心的部分了，那就是关于行列式的叙述。这部分内容没有在孟岩的文章中被谈及到，是我自己结合了一些书籍和网络资源而得出的一些看法。其中最主要的书籍是《数学桥》，而追本溯源，促进我研究这方面的内容的是matrix67的那篇《教材应该怎么写》。本文包含了相当多的直观理解内容，在我看来，这部分内容也许不是正统的观点，但是至少在某种程度上能够促进我们对线性代数的理解。

大多数线性代数引入行列式的方式都是通过讲解线性方程组的，这种方式能够让学生很快地掌握它的计算，以及给出了一个最实际的应用（就是解方程组啦）。但是这很容易让读者走进一个误区，让他们认为线性代数就是研究解方程组的。这样并不能让读者真正理解到它的本质，而只有当我们对它有了一个直观熟练的感觉，我们才能很好地运用它。

行列式的出现其实是为了判断一个矩阵是否可逆的，它通过某些方式构造出一个“相对简单”的函数来达到这个目的，这个函数就是矩阵的行列式。让我们来反思一下，矩阵可逆意味着什么呢？之前已经提到过，矩阵是从一个点到另外一个点的变换，那么逆矩阵很显然就是为了把它变换回来。我们还说过，“运动是相对的”，点的变换又可以用坐标系的变换来实现。但是，按照我们的直觉，不同的坐标系除了有那些运算上的复杂度不同（比如一般的仿射坐标系计算点积比直角坐标系复杂）之外，不应该有其他的不同了，用物理的语言说，就是一切坐标系都是平权的。那么给出一个坐标系，可以自然地变换到另外一个坐标系，也可以自然地将它变换回来。既然矩阵是这种坐标系的一个描述，那么矩阵不可逆的唯一可能性就是：

这个$n$阶矩阵的$n$个列向量根本就构不成一个$n$维空间的坐标系。

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破解数学猜想

王骁威

今天在看《广州日报》时，偶然发现了一个不曾听闻的名字——王骁威。

他，跟我一样是一个90后，是韶关学院的大四学生，而现在，他多了一点名头：“仅用1表示数问题中的素数猜想”这一难题的破解者。

“仅用1表示数问题中的素数猜想”出现在加拿大数学家Richard K·Guy的著作《数论中未解决的问题》中，是上世纪50年代，加拿大数学家Richard K·Guy提出一个数论猜想：对于给定的素数p，$f(p)=f(p-1)+1$是否能成立。其中，“仅用1表示数”指的是只用1通过加法和乘法以及括号来表示自然数，对于给定的自然数n，用1来表示时，1的最少个数记为$f(n)$。据说在之前就有诸多数学家论证过，在3亿之前的素数里，上述猜想是成立的。

但是王骁威通过举出反例证否了这个命题，他指出p=353942783时这个公式并不成立。他是经过四个月的钻研，王骁威运用集合论的运算、分析、优化，才成功发现这个猜想的反例的。发现反例之后，王骁威陷入兴奋，把整理成的报告寄给国内几家杂志社，结果却令他失望，几家杂志社对他的论文均不感兴趣。“我也怀疑过自己的努力是否值得，但对数学的强烈兴趣让我坚持下来。”王骁威说自己将论文译成英文，英文名为《A counterexample to the prime conjecture of expressing numbers using just ones》（中文名为《仅用1表示数中素数猜想的一个反例》），投往全球最权威的数论杂志———美国艾斯维尔出版社的《Journal of Number Theory》（数论杂志），国外专家的青睐终于让他收获成功的喜悦，论文发表在杂志第133期（明年二月）上。数学大师丘成桐也通过邮件与王骁威交流，并对他表示肯定。

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这篇文章估计是这个系列最后一篇了，也许以后会继续谈到线性代数，但是将会独立开来讲述。本文主要讲的是相似矩阵的一些事情，本文的观点很是粗糙，自己感觉都有点模糊，因此请读者细细阅读。在孟岩的文章里头，它对矩阵及其相似有了一个非常精彩的描述：

“矩阵是线性空间中的线性变换的一个描述。在一个线性空间中，只要我们选定一组基，那么对于任何一个线性变换，都能够用一个确定的矩阵来加以描述。”

同样的，对于一个线性变换，只要你选定一组基，那么就可以找到一个矩阵来描述这个线性变换。换一组基，就得到一个不同的矩阵。所有这些矩阵都是这同一个线性变换的描述，但又都不是线性变换本身。

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简介

最近在学习量子力学的时候，无意中涉及到了许多矩阵（线性代数）、群论等知识，并且发现其中有不少相同的思想，其中主要是用算子来表示其对函数的作用和反作用。比如我们可以记$D=\frac{d}{dx}$，那么函数$f(x)$的导数就可以看作是算子D对它的一次作用后的结果，二阶导数则是作用了两次，等等。而反过来，$D^{-1}$就表示这个算子的反作用，它把作用后的函数（像）还原为原来的函数（原像），当然，这不是将求导算子做简单的除法，而是积分运算。用这种思想来解答线性微分方程，有着统一和简洁的美。

线性微分方程是求解一切微分方程的基础，一般来说它形式比较简单，多数情况下我们都可以求出它的通解。在非相对论性量子力学的薛定谔方程中，本质上就是在求解一道二阶偏线性微分方程。另一方面，在许多我们无法求解的非线性系统中，线性解作为一级近似，对于定性分析是极其重要的。

一阶线性常微分方程

这是以下所有微分方程求积的一个基础形式，即$\frac{dy}{dx}+g(x)y=f(x)$的求解。这是通过常数变易法来解答的，其思想跟天体力学中的“摄动法”是一致的，首先在无法求解原微分方程的时候，先忽略掉其中的一些小项，求得一个近似解。即我们先求解
$$\frac{dy}{dx}+g(x)y=0$$

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在网上收集到的一些GIF，解释了不少机器构造的原理，其中有一些甚是巧妙！比如下面的椭圆规：

07椭圆规

也许以后学习或者科普的时候会用到，所以我将其打包为zip，收藏在这里，并与大家分享。里面包括一些武器和发动机的构造图，还有一些巧妙的部件，一些图片我已经注明该构造的名称，没有注明的是很显然的或者是找不到名称的。

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===聊聊天===

上个月在网上买了三本相对论教材和一本《量子力学概论》，本打算好好研究下相对论的数学体系，可是书到了之后，我却深深地被量子力学吸引住了，不停在研读。而且在研究量子力学的同时，我的线性代数和微分方程知识也增加了不少，这确实是我没有想到的。在我看来，不管是狭义相对论还是广义相对论，它本质上都是一种几何理论，你总要想象从一个参考系观测会发生什么，然后从另外一个参考系又会看到什么；而量子力学虽然对我来讲一切都是新鲜的，但是它的数学性比较强，主要是微分方程的求解和理解。我想这也是我对量子力学更感兴趣的原因吧，因为我善于代数而不善于几何。

量子力学中让我最神往的内容莫过于费曼所发明的路径积分形式。资料记载费曼用他发明的方法在一个晚上就算出了别人几个月才算出来的结果，可见路径积分形式的优越性。当然，我也清楚，这个路径积分并不简单，它涉及到了泛函积分这一非常高深的内容，对于我这个连数学分析都还没有学好的小孩来说，泛函是难以触摸的。不过，我还是尽量想办法向它靠近。为此，我还浏览到了一些不少让人兴奋的内容，比如薛定谔的方程的推导、力学-光学类比、雅可比方程等等。

很遗憾，在正统的量子力学教材中，这些让我很兴奋的内容却鲜有涉及，有的话大多数都是一笔带过的感觉。多数量子力学不会讲到路径积分，就算有也只是作为附录。对于薛定谔方程的推导，也没有涉及到。这也让我养成了一个习惯意识：书本最有趣的东西往往都是在附录。所以对于教科书，那么写得正正式式的内容我一概没有兴趣，那些附录内容才是我最喜欢读的。可是，那些让人兴奋的内容却不一定是很难的，就像下面的薛定谔方程的启发式推导，它不仅不难，而且易于理解。

===薛定谔方程===

在量子力学诞生之前，科学家已经通过实验发现光既有波动性也有粒子性，而德布罗意提出也同时具有波动性和粒子性，这些都奠定了量子力学的基础。根据量子论，一个光子的能量可以由$E=h\nu=\hbar (2\pi \nu)$，其中$\nu$是频率，$\hbar=\frac{h}{2\pi}$，h是普朗克常数，习惯记$\omega=2\pi \nu$，即$E=\hbar \omega$。

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