科学空间|Scientific Spaces

在上一篇文章中，笔者提到似乎证明n=4时必须要证明$x^4+y^4=z^2$无解而不能只证明$x^4+y^4=z^4$无解。不过，在今天中午研究的时候，笔者发现了另外一个n=4的证明，它同样是在$\mathbb{Z}[i]$中，但是，证明的则是指数全是4的形式，但是，又不单单是$x^4+y^4=z^4$的形式，而是$\varepsilon x^4+y^4=z^4$，$\varepsilon$是单位数。这个证明过程，我觉得应该更接近n等于其他奇素数时的证明，遂补充了这篇文章，供大家参考。读者可以对比着上一篇文章进行比较阅读。

引理

用$\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3,\varepsilon$表示$\mathbb{Z}[i]$中的单位数，下面先证明

如果方程$\varepsilon_1 x'^4 +\varepsilon_2 y'^4+\varepsilon_3 z'^4=0$在$\mathbb{Z}[i]$中有全不为0的解，那么在经过适当的化简和整理之后，方程必有形式$\varepsilon x^4+y^4=z^4$，其中$(x,y,z)$是$(x',y',z')$的某个置换，$\xi^2|x$。

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集合论的结果告诉我们，全体实数的集合$\mathbb{R}$跟全体无理数的集合$\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$是等势的，那么，如何构造出它们俩之间的一个双射出来呢？这是一个颇考读者想象力的问题。当然，如果把答案给出来，又似乎显得没有那么神秘。下面给出笔者构造的一个例子，读者可以从中看到这种映射是怎么构造的。

为了构造这样的双射，一个很自然的想法是，让全体有理数和部分无理数在它们自身内相互映射，剩下的无理数则恒等映射。构造这样的一个双射首先得找出一个函数，它的值只会是无理数。要找到这样的函数并不难，比如我们知道：

1、方程$x^4 + 1 = y^2$没有除$x=0,y=\pm 1$外的有理点，否则将与费马大定理$n=4$时的结果矛盾。

2、无理数的平方根依然是无理数。

根据这些信息，足以构造一个正实数$\mathbb{R}^+$到正无理数$\mathbb{R}^+ \backslash \mathbb{Q}^+$的双射，然后稍微修改一下，就可以得到$\mathbb{R}$到$\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$的双射。

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首先谈点题外话，关于本系列以及本博客的写作。其实本博客的写作内容，代表了笔者在这段时间附近的研究成果。也就是说，我此时在写这篇文章，其实表明我这段时间正在研究这个问题。而接下来的研究是否有结果，有怎样的结果，则是完全不知道的。所以，我在写这篇文章的时候，并不确定下一篇文章会写些什么。有些类似的话题，我会放在同一个系列去写。但不管怎样，这些文章可能并不遵循常规的教学或者学习思路，有些内容还可能与主流的思想方法有相当出入，请读者见谅，望大家继续支持！

上一篇我们谈到了切线法来求二次和三次曲线的有理点。切线法在寻找不高于三次的曲线上的有理点是很成功的，可是对于更高次的曲线有没有类似的方法呢？换句话说，有没有推广的可能性。我们从纯代数的角度来回复一下切线法生效的原因。切线法，更一般的是割线法，能够起作用，主要是因为如果有理系数的三次方程有两个有理数的根，那么第三个根肯定是有理数。如果只有一个已知的有理根，那么就可以让两个根重合为已知的那个根，从而割线变成了切线。

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在2018年的文章里《f-GAN简介：GAN模型的生产车间》笔者介绍了f-GAN，并评价其为GAN模型的“生产车间”，顾名思义，这是指它能按照固定的流程构造出很多不同形式的GAN模型来。前几天在arxiv上看到了新出的一篇论文《Designing GANs: A Likelihood Ratio Approach》（后面简称Designing GANs或原论文），发现它在做跟f-GAN同样的事情，但走的是一条截然不同的路（不过最后其实是殊途同归），整篇论文颇有意思，遂在此分享一番。

f-GAN回顾

从《f-GAN简介：GAN模型的生产车间》中我们可以知道，f-GAN的首要步骤是找到满足如下条件的函数$f$：

1、$f$是非负实数到实数的映射（$\mathbb{R}^* \to \mathbb{R}$）；

2、$f(1)=0$；

3、$f$是凸函数。

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伽马函数
$$\Gamma(x)=\int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}dt$$
作为阶乘的推广，会让很多初学者感到困惑，对于笔者来说也不例外。一个最自然的问题就是：这般复杂的推广公式是如何得到的？

在cos.name的文章《神奇的伽马函数》中，有比较详细地对伽马函数的历史介绍，笔者细读之后也获益匪浅。但美中不足的是，笔者还是没能从中找到引出伽马函数的一种“自然”的办法。所谓“自然”，并不是说最简单的，而是根据一些基本的性质和定义，直接把伽马函数的表达式反解出来。它的过程和运算也许并不简单，但是思想应当是直接而简洁的。当然，我们不能苛求历史上伽马函数以这种方式诞生，但是作为事后探索是有益的，有助于我们了解伽马函数的特性。于是笔者尝试了以下途径，得到了一些结果，可是也得到了一些困惑。

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写在前面：本文是笔者数学建模课的作业，探讨了两生物种群竞争的常微分方程组模型的解的性质，展示了微分方程定性理论的基本思想。当然，本文最重要的目的，是展示LaTeX与Python的完美结合。（本文的图均由Python的Matplotlib模块生成；而文档则采用LaTeX编辑。）

问题提出

研究在同一个自然环境中生存的两个种群之间的竞争关系。假设两个种群独自在这个自然环境中生存时数量演变都服从Logistic规律，又假设当它们相互竞争时都会减慢对方数量的增长，增长速度的减小都与它们数量的乘积成正比。按照这样的假设建立的常微分方程模型为
$$\begin{equation}\label{eq:jingzhengfangcheng}\left\{\begin{aligned}\frac{dx_1}{dt}=r_1 x_1\left(1-\frac{x_1}{N_1}\right)-a_1 x_1 x_2 \\
\frac{dx_2}{dt}=r_2 x_2\left(1-\frac{x_2}{N_2}\right)-a_2 x_1 x_2\end{aligned}\right.\end{equation}$$
本文分别通过定量和定性两个角度来分析该方程的性质。

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前段时间在研究费曼的路径积分理论，看到路径积分的微扰方法，也就是通过小参数展开的方式逐步逼近传播子。这样的技巧具有非常清晰的物理意义，有兴趣了解路径积分以及量子力学的读者，请去阅读费曼的《量子力学与路径积分》。然而从数学角度看来，这种逼近的技巧实际上非常粗糙，收敛范围和速度难以得到保证。事实上，数学上发展了各种各样的摄动技巧，来应对不同情况的微扰。下面我们研究积分
$$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ax^2-\varepsilon x^4} dx\tag{1}$$
或者更一般地
$$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ax^2-\varepsilon V(x)} dx\tag{2}$$
路径积分的级数展开比它稍微复杂一些，但是仍然是类似的形式。

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本文主要做了一个尝试，尝试不通过Green公式而实现将封闭曲线的面积与线积分相互转换。这种转换的思路，因为仅仅利用了二重积分的积分变换，较为容易理解，而且易于推广。至于这种技巧是否真正具有实际价值，还请读者评论。

假设平面上一条简单封闭曲线由以下参数方程给出：
$$\begin{equation}\left\{\begin{aligned}x = f(t)\\y = g(t)\end{aligned}\right.\end{equation}$$
其中参数$t$位于某个区间$[a,b]$上，即$f(a)=f(b),g(a)=g(b)$。现在的问题是，求该封闭曲线围成的区域的面积。

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