科学空间|Scientific Spaces

本文解读一下我们最新的技术报告《Muon is Scalable for LLM Training》，里边分享了我们之前在《Muon优化器赏析：从向量到矩阵的本质跨越》介绍过的Muon优化器的一次较大规模的实践，并开源了相应的模型（我们称之为“Moonlight”，目前是一个3B/16B的MoE模型）。我们发现了一个比较惊人的结论：在我们的实验设置下，Muon相比Adam能够达到将近2倍的训练效率。

Muon的Scaling Law及Moonlight的MMLU表现

优化器的工作说多不多，但说少也不少，为什么我们会选择Muon来作为新的尝试方向呢？已经调好超参的Adam优化器，怎么快速切换到Muon上进行尝试呢？模型Scale上去之后，Muon与Adam的性能效果差异如何？接下来将分享我们的思考过程。

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这篇文章我们继续探讨MoE的负载均衡问题。在上一篇文章《MoE环游记：2、不患寡而患不均》中，我们主要讨论了通过Aux Loss来促进负载均衡的思路。Aux Loss固然简单直观，但它也有一个明显的缺点——权重不好调——调低了无法促进均衡，调高了容易损害LM Loss，所以业界一直有寻找替代方案的尝试。

本文要分享的是名为“Loss-Free”的方案，由DeepSeek在《Auxiliary-Loss-Free Load Balancing Strategy for Mixture-of-Experts》提出。和DeepSeek众多耀眼的开源作品相比，这篇论文也许不算起眼，但在笔者看来，它潜在的学术影响力可能远超其他工作，因为所提方法不仅简单有效，而且极具普适性，堪称经典。

方法大意

面对负载不均衡，Aux Loss的应对思路是通过额外的损失引导Router给出均衡的打分，而Loss-Free的想法则是换个新的分配思路，即不改变Router现有打分结果，而是改变$\mathop{\text{argtop}}_k \boldsymbol{\rho}$这个分配方式。

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众所周知，完整训练一次大型LLM的成本是昂贵的，这就决定了我们不可能直接在大型LLM上反复测试超参数。一个很自然的想法是希望可以在同结构的小模型上仔细搜索超参数，找到最优组合后直接迁移到大模型上。尽管这个想法很朴素，但要实现它并不平凡，它需要我们了解常见的超参数与模型尺度之间的缩放规律，而muP正是这个想法的一个实践。

muP，有时也写$\mu P$，全名是Maximal Update Parametrization，出自论文《Tensor Programs V: Tuning Large Neural Networks via Zero-Shot Hyperparameter Transfer》，随着LLM训练的普及，它逐渐已经成为了科学炼丹的事实标配之一。

方法大意

在接入主题之前，必须先吐槽一下muP原论文写得实在太过晦涩，并且结论的表达也不够清晰，平白增加了不少理解难度，所以接下来笔者尽量以一种（自认为）简明扼要的方式来复现muP的结论。

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在文章《初探muP：超参数的跨模型尺度迁移规律》中，我们基于前向传播、反向传播、损失增量和特征变化的尺度不变性推导了muP（Maximal Update Parametrization）。可能对于部分读者来说，这一过程还是显得有些繁琐，但实际上它比原始论文已经明显简化。要知道，我们是在单篇文章内相对完整地介绍的muP，而muP的论文实际上是作者Tensor Programs系列论文的第5篇！

不过好消息是，作者在后续的研究《A Spectral Condition for Feature Learning》中，发现了一种新的理解方式（下称“谱条件”），它比muP的原始推导和笔者的推导都更加直观和简洁，但却能得到比muP更丰富的结果，可谓muP的高阶版本，简明且不失高明的代表作。

准备工作

顾名思义，谱条件（Spectral Condition）跟谱范数（Spectral Norm）相关，它的出发点是谱范数的一个基本不等式：
\begin{equation}\Vert\boldsymbol{x}\boldsymbol{W}\Vert_2\leq \Vert\boldsymbol{x}\Vert_2 \Vert\boldsymbol{W}\Vert_2\label{neq:spec-2}\end{equation}

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