科学空间|Scientific Spaces

Ramanujan

在正式开始数学之前，我们不妨先说一个关于印度著名数学天才——拉马努金的轶事。拉马努金病重，哈代前往探望。哈代说：“我乘出租车来，车牌号码是1729，这数真没趣，希望不是不祥之兆。”拉马努金答道：“不，那是个有趣得很的数。可以用两个立方之和来表达而且有两种表达方式的数之中，1729是最小的。”（即$1729 = 1^3+12^3 = 9^3+10^3$，后来这类数称为的士数。）利特尔伍德回应这宗轶闻说：“每个整数都是拉马努金的朋友。”（来自维基百科）

从这则轶事中，我们发现，确实存在的某些整数，可以表示为两种不同的立方和，换句话说，不定方程：
$$x^3+y^3=z^3+w^3$$

点击阅读全文...

我们这学期开设《实变函数》的课程，实变函数的第一章是集合。关于无穷集合的势，有很多异于直觉的结论。这些结论的证明技巧，正是集合论的核心方法。然而，我发现虽然很多结论跟我们的直觉相违背，但是仔细回想，它又没我们想象中那样“离谱”。而我们目前使用的教科书《实变函数论与泛函分析》（曹广福），却没有使用看来简单的证明，反而用一些相对复杂的定理，给人故弄玄虚的感觉。

一、全体实数不能跟全体正整数一一对应

这是集合论中的基本结论之一。证明很简单，如果全体实数可以跟全体正整数一一对应，那么$(0,1)$上的实数就可以跟全体正整数一一对应，把$(0,1)$上的全体实数表示为没有0做循环节的无限小数（比如0.1表示为0.0999...），那么设一种对应为：
$$\begin{aligned}&a_1=0.a_{11} a_{12} a_{13} a_{14}\dots\\
&a_2=0.a_{21} a_{22} a_{23} a_{24}\dots\\
&a_3=0.a_{31} a_{32} a_{33} a_{34}\dots\\
&\dots\dots
\end{aligned}$$

点击阅读全文...

集合论的结果告诉我们，全体实数的集合$\mathbb{R}$跟全体无理数的集合$\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$是等势的，那么，如何构造出它们俩之间的一个双射出来呢？这是一个颇考读者想象力的问题。当然，如果把答案给出来，又似乎显得没有那么神秘。下面给出笔者构造的一个例子，读者可以从中看到这种映射是怎么构造的。

为了构造这样的双射，一个很自然的想法是，让全体有理数和部分无理数在它们自身内相互映射，剩下的无理数则恒等映射。构造这样的一个双射首先得找出一个函数，它的值只会是无理数。要找到这样的函数并不难，比如我们知道：

1、方程$x^4 + 1 = y^2$没有除$x=0,y=\pm 1$外的有理点，否则将与费马大定理$n=4$时的结果矛盾。

2、无理数的平方根依然是无理数。

根据这些信息，足以构造一个正实数$\mathbb{R}^+$到正无理数$\mathbb{R}^+ \backslash \mathbb{Q}^+$的双射，然后稍微修改一下，就可以得到$\mathbb{R}$到$\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$的双射。

点击阅读全文...

学过集合论的朋友应该会知道，按照定义，判断两个集合的“势”相同的最直接的方法就是给出这两个集合之间的一个双射。然而，这样的双射往往不容易想到，比如

请给出一个$[0,+\infty)$到$(0,+\infty)$的双射

但是，直观地看，这两个集合的势一定是相当的，而且这两个集合之间的双射有无穷多个。然而，大多数的我们却很难想出一个双射来。当我们看到构造出来的双射时，第一反应往往是：这样的证明是怎么想到的！？比如，上述问题的答案之一是：

点击阅读全文...

我们在高中甚至初中，都有可能遇到这样的题目：

设$x,y,z$是非负整数，问$x+y+z=2014$有多少组不同的解？（不同顺序视为不同的解）

难度稍高点，可以改为

设$x,y,z$是非负整数，$0\leq x\leq y\leq z$，问$x+y+z=2014$有多少组不同的解？

这些问题都属于整数的分拆问题（广为流传的哥德巴赫猜想也是一个整数分拆问题）。有很多不同的思路可以求解这两道题，然而，个人认为这些方法中最引人入胜的（可能也是最有力的）首推“生成函数法”。

关于生成函数，本节就不多作介绍了，如果缺乏相关基础的朋友，请先阅读相关资料了解该方法。不少数论的、离散数学的、计算机科学的书籍中，都介绍了生成函数法（也叫母函数法）。本质上讲，母函数法能有诸多应用，是因为$x^a\times x^b=x^{a+b}$这一性质的成立。

点击阅读全文...

现在可以开始$n=3$的证明了。在实整数范围内n=3的证明看起来相当复杂，而且跟n=4的证明似乎没有相通之处。然而，如果我们在$\mathbb{Z}[\omega]$中考虑$x^3+y^3+z^3=0$无解的证明，就会跟n=4时有很多类似的地方，而且事实上证明比n=4时简单（要注意在实整数范围内的证明，n=4比n=3简单。费马完成了n=4的证明，但是没完成n=3的证明。）。我想，正是这样的类似之处，才让当初还没有完成证明的数学家拉梅就自信他从这条路可以完成费马大定理的证明。（不过，这自信却是失败的案例：拉梅的路不能完全走通，而沿着这条路走得更远的当属库默，但即便这样，库默也没有证明费马大定理。）

证明跟$n=4$的第二个证明是类似的。我们先往方程中添加一个单位数，然后证明无论单位数是什么，方程在$\mathbb{Z}[\omega]$中都无解。这是一个很妙的技巧，让我们证明了更多的方程无解，但是却用到了更少的步骤。事实上，存在着只证明$x^3+y^3+z^3=0$无解的证明，但需要非常仔细地分析里边的单位数情况，这是相当麻烦的。本证明是我参考了Fermats last theorem blogspot上的证明，然后结合本系列n=4的第二个证明，简化而来，主要是减少了对单位数的仔细分析。

点击阅读全文...

Gotthold_Eisenstein

是时候向n=3进军了，为了证明这个情况，我们需要一个新的数环：艾森斯坦整数（Eisenstein Integer）。艾森斯坦是德国著名数学家，同时代的高斯曾经评价：“只有三个划时代的数学家：阿基米德，牛顿和艾森斯坦。”足见艾森斯坦的成就斐然。事实上，阅读费马大定理的研究史，同时也是在阅读数学名人录——没有超高的数学，几乎不可能在费马大定理中有所建树。

基本定义

跟高斯整数一样，艾森斯坦整数也是复整数的一种，其中，高斯整数是以1和$i$为基，$i$其实是一个四次单位根，也就是$x^4-1=0$的一个非实数根，因此高斯整数也叫做四次分圆整数；而艾森斯坦整数以1和$\omega$为基，$\omega$是三次单位根，也就是$x^3-1=0$的一个非实数根。任意一个艾森斯坦整数都可以记为$a+b\omega,\,a,b\in\mathbb{Z}$，艾森斯坦整数环记为$\mathbb{Z}[\omega]$，也称为三次分圆整数环。

点击阅读全文...

本想着开始准备n=3的证明，但这需要引入Eisenstein整数的概念，而我们已经引入了高斯整数，高斯整数的美妙还没有很好地展示给读者。从n=4的两个证明可以知道，引入高斯整数的作用，是把诸如$z^n-y^n$的式子进行完全分解。然而，这一点并没有给我们展示多少高斯整数的神奇。读者或许已经知道，复分析中很多简单的结果，如果单纯用实数描述出来，便会给人巧夺天工的感觉，在涉及到高斯整数的数论中也是一样。本文就让我们来思考费马平方和定理，以此再领会在高斯整数中处理某些数论问题时的便捷。——我们从费马大定理谈起，但又并不仅仅只谈费马大定理。

费马平方和定理：奇素数$p$可以表示为两个整数的平方和，当且仅当该素数具有$4k+1$的形式，而且不考虑相加顺序的情况下，表示法是唯一的。

点击阅读全文...