科学空间|Scientific Spaces

最近一直在考虑一些自然语言处理问题和一些非线性分析问题，无暇总结发文，在此表示抱歉。本文要说的是对于一阶非线性差分方程（当然高阶也可以类似地做）的一种摄动格式，理论上来说，本方法可以得到任意一阶非线性差分方程的显式渐近解。

非线性差分方程

对于一般的一阶非线性差分方程
$$\begin{equation}\label{chafenfangcheng}x_{n+1}-x_n = f(x_n)\end{equation}$$
通常来说，差分方程很少有解析解，因此要通过渐近分析等手段来分析非线性差分方程的性质。很多时候，我们首先会考虑将差分替换为求导，得到微分方程
$$\begin{equation}\label{weifenfangcheng}\frac{dx}{dn}=f(x)\end{equation}$$
作为差分方程$\eqref{chafenfangcheng}$的近似。其中的原因，除了微分方程有比较简单的显式解之外，另一重要原因是微分方程$\eqref{weifenfangcheng}$近似保留了差分方程$\eqref{chafenfangcheng}$的一些比较重要的性质，如渐近性。例如，考虑离散的阻滞增长模型：
$$\begin{equation}\label{zuzhizengzhang}x_{n+1}=(1+\alpha)x_n -\beta x_n^2\end{equation}$$
对应的微分方程为（差分替换为求导）：
$$\begin{equation}\frac{dx}{dn}=\alpha x -\beta x^2\end{equation}$$
此方程解得
$$\begin{equation}x_n = \frac{\alpha}{\beta+c e^{-\alpha n}}\end{equation}$$
其中$c$是任意常数。上述结果已经大概给出了原差分方程$\eqref{zuzhizengzhang}$的解的变化趋势，并且成功给出了最终的渐近极限$x_n \to \frac{\alpha}{\beta}$。下图是当$\alpha=\beta=1$且$c=1$（即$x_0=\frac{1}{2}$）时，微分方程的解与差分方程的解的值比较。

差分方程的摄动法1

现在的问题是，既然微分方程的解可以作为一个形态良好的近似解了，那么是否可以在微分方程的解的基础上，进一步加入修正项提高精度？

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路径积分方法为解决某些随机问题带来了新视角.

一个例子：股票价格模型

考虑有风险资产(如股票)，在$t$时刻其价格为$S_t$，考虑的时间区间为$[0,T]$，0表示初始时间，$T$表示为到期日. $S_t$看作是随时间变化的连续时间变量，并服从下列随机微分方程:
$$dS_t^0=rS_t^0 dt;\quad dS_t=S_t(\mu dt+\sigma dW_t).\tag{70}$$
其中，$\mu$和$\sigma$是两个常量，$W_t$是一个标准布朗运动.

关于$S_t$的方程是一个随机微分方程，一般解决思路是通过随机微积分. 随机微积分有别于一般的微积分的地方在于，随机微积分在做一阶展开的时候，不能忽略$dS_t^2$项，因为$dW_t^2=dt$. 比如，设$S_t=e^{x_t}$，则$x_t=\ln S_t$
$$\begin{aligned}dx_t=&\ln(S_t+dS_t)-\ln S_t=\frac{dS_t}{S_t}-\frac{dS_t^2}{2S_t^2}\\
=&\frac{S_t(\mu dt+\sigma dW_t)}{S_t}-\frac{[S_t(\mu dt+\sigma dW_t)]^2}{2S_t^2}\\
=&\mu dt+\sigma dW_t-\frac{1}{2}\sigma^2 dW_t^2\quad(\text{其余项均低于}dt\text{阶})\\
=&\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2\right) dt+\sigma dW_t\end{aligned}
,\tag{71}$$

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本章将路径积分用于随机微分方程，并且得到了与不对称随机游走一样的结果，从而证明了它与该模型的等价性.

将路径积分用于随机微分方程的研究，这一思路由来已久. 费曼在他的著作[5]中，已经建立了路径积分与线性随机微分方程的关系. 而对于非线性的情况，也有不少研究，但比较混乱，如文献[8]甚至给出了错误的结果.

本文从路径积分的离散化概念出发，明确地建立了两个路径积分微元的雅可比行列式关系，从而对非线性随机微分方程也建立了路径积分. 本文的结果跟文献[9]的结果是一致的.

概念

本文所研究的仅仅是随机常微分方程，它与一般的常微分方程的区别在于布朗运动项的引入，如常见的一类随机微分方程为
$$dx(t)=p(x(t),t)dt + \sqrt{\alpha} dW_t.\tag{48}$$
其中$W_t$代表着一个标准的布朗运动. 由于引入了随机项，所以解$x(t)$不再是确定的，而是有一定的概率分布.

在对随机微分方程中，感兴趣的量有很多，比如关于$x$的某个量的期望、方差，或者稳定性，等等. 随机微分方程领域中有各种分析的技巧，但是显然，直接求出$x(t)$的概率分布后对概率分布进行研究，是最理想最容易的方案. 路径积分正是给出了求概率分布的一个方法.

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路径积分是量子力学的一种描述方法，源于物理学家费曼[5]，它是一种泛函积分，它已经成为现代量子理论的主流形式. 近年来，研究人员对它的兴趣愈发增加，尤其是它在量子领域以外的应用，出现了一些著作，如[7]. 但在国内了解路径积分的人并不多，很多量子物理专业的学生可能并没有听说过路径积分.

从数学角度来看，路径积分是求偏微分方程的Green函数的一种方法. 我们知道，在偏微分方程的研究中，如果能够求出对应的Green函数，那么对偏微分方程的研究会大有帮助，而通常情况下Green函数并不容易求解. 但构建路径积分只需要无穷小时刻的Green函数，因此形式和概念上都相当简单.

本章并没有新的内容，只是做了一个尝试：从随机游走问题出发，给出路径积分的一个简明而直接的介绍，展示了如何将抛物型的偏微分方程问题转化为路径积分形式.

从点的概率到路径的概率

在上一章对随机游走的研究中，我们得出从$x_0$出发，$t$时间后，走到$x_n$处的概率密度为
$$\frac{1}{\sqrt{2\pi \alpha T}}\exp\left(-\frac{(x_n-x_0)^2}{2\alpha t}\right).\tag{22}$$
这是某时刻某点到另一个时刻另一点的概率，在数学上，我们称之为扩散方程$(21)$的传播子，或者Green函数.

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随机游走模型形式简单，但通过它可以导出丰富的结果，它是物理中各种扩散模型的基础之一，它也等价于随机过程中的布朗运动.

笔者所阅的文献表明，数学家已经对对称随机游走问题作了充分研究[2]，也探讨了随机游走问题与偏微分方程的关系[3]，并且还研究过不对称随机游走问题[4]. 然而，已有结果的不足之处有：1、在推导随机游走问题的概率分布或者偏微分方程之时，所用的方法不够简洁明了；2、没有研究更一般的不对称随机游走问题.

本章弥补了这一不足，首先通过母函数和傅里叶变换的方法，推导出了不对称随机游走问题所满足的偏微分方程，并且提出，由于随机游走容易通过计算机模拟，因此通过随机游走来模拟偏微分方程的解是一种有效的数值途径.

模型简介

本节通过一个本质上属于二项分布的走格子问题来引入随机游走.

考虑实数轴上的一个粒子，在$t=0$时刻它位于原点，每秒钟它以相等的概率向前或向后移动一格（$+1$或$-1$），问$n$秒后它所处位置的概率分布.

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之前承诺过会把毕业论文共享出来，让大家批评指正，却一直偷懒没动。事实上，毕业论文的主要内容就是路径积分的一些入门级别的内容，标题为《随机游走、随机微分方程与偏微分方程的路径积分方法》。我的摘要是这样写的：

本文从随机游走模型出发，得到了关于随机游走模型的一般结果；然后基于随机游走模型引入了路径积分，并且通过路径积分方法，实现了随机游走、随机微分方程与抛物型微分方程的相互转化，并给出了一些计算案例.

路径积分方法是量子理论的一种形式，但实际上它可以抽象为一个有用的数学工具，本文的主要方法正是抽象后的路径积分；其次，量子力学中有一个相当典型的抛物型偏微分方程——薛定谔方程，物理学家已经对它进行了大量的研究，有众多的成果；而随机微分方程是一个微分方程的拓展，在物理、工程、金融等很多方面都有重要应用，这个领域中也有很多研究方法；最后，随机游走是一个简单而重要的模型，它是很多扩散模型的基础，而且具有容易使用计算机模拟的特性. 因此，实现三者的转化是很有意义的.

本文有一些新的内容，比如现有文献比较少研究的不对称随机游走方面、以及现有文献比较含糊的对路径积分的介绍等，可以供同好参考，希望借此方式，能够让一些读者以更简洁明了的方式理解路径积分. 但是本文主要是陈述性的，旨在在国内推广路径积分方法. 在国外，路径积分方法得到了相当的重视，它源于量子力学，但应用已经不仅仅限于量子力学，如著作[1]，因此，推广路径积分方法、增加路径积分的中文资料，是很有意义和很有必要的事情.

本文所有推导和例子均以一维为例，相应的多维问题可以类似地计算。

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斯特灵近似，或者称斯特灵公式，最开始是作为阶乘的近似提出
$$n!\sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$$
符号$\sim$意味着
$$\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n}{n!}=1$$
将斯特灵公式进一步提高精度，就得到所谓的斯特灵级数
$$n!=\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\left(1+\frac{1}{12n}+\frac{1}{288n^2}\dots\right)$$
很遗憾，这个是渐近级数。

相关资料有：
https://zh.wikipedia.org/zh-cn/斯特灵公式

https://en.wikipedia.org/wiki/Stirling%27s_approximation

本文将会谈到斯特灵公式及其渐近级数的一个改进的推导，并解释渐近级数为什么渐近。

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问题来源

笔者经常学习的数学研发论坛曾有一帖讨论下述非线性差分方程的渐近求解：
$$a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n^2},\, a_1=1$$
原帖子在这里，从这帖子中我获益良多，学习到了很多新技巧。主要思路是通过将两边立方，然后设$x_n=a_n^3$，变为等价的递推问题：
$$x_{n+1}=x_n+3+\frac{3}{x_n}+\frac{1}{x_n^2},\,x_1=1$$
然后可以通过巧妙的技巧得到渐近展开式：
$$x_n = 3n+\ln n+a+\frac{\frac{1}{3}(\ln n+a)-\frac{5}{18}}{n}+\dots$$
具体过程就不提了，读者可以自行到上述帖子学习。

然而，这种形式的解虽然精妙，但存在一些笔者不是很满意的地方：

1、解是渐近的级数，这就意味着实际上收敛半径为0；
2、是$n^{-k}$形式的解，对于较小的$n$难以计算，这都使得高精度计算变得比较困难；
3、当然，题目本来的目的是渐近计算，但是渐近分析似乎又没有必要展开那么多项；
4、里边带有了一个本来就比较难计算的极限值$a$；
5、求解过程似乎稍欠直观。

当然，上面这些缺点，有些是鸡蛋里挑骨头的。不过，也正是这些缺点，促使我寻找更好的形式的解，最终导致了这篇文章。

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