从第一篇看下来到这里,我们知道所谓“最小熵原理”就是致力于降低学习成本,试图用最小的成本完成同样的事情。所以整个系列就是一个“偷懒攻略”。那偷懒的秘诀是什么呢?答案是“套路”,所以本系列又称为“套路宝典”。

本篇我们介绍图书馆里边的套路。

先抛出一个问题:词向量出现在什么时候?是2013年Mikolov的Word2Vec?还是是2003年Bengio大神的神经语言模型?都不是,其实词向量可以追溯到千年以前,在那古老的图书馆中...

图书馆一角(图片来源于百度搜索)

图书馆一角(图片来源于百度搜索)

走进图书馆 #

图书馆里有词向量?还是千年以前?在哪本书?我去借来看看。

放书的套路 #

其实不是哪本书,而是放书的套路。

很明显,图书馆中书的摆放是有“套路”的:它们不是随机摆放的,而是分门别类地放置的,比如数学类放一个区,文学类放一个区,计算机类也放一个区;同一个类也有很多子类,比如数学类中,数学分析放一个子区,代数放一个子区,几何放一个子区,等等。读者是否思考过,为什么要这么分类放置?分类放置有什么好处?跟最小熵又有什么关系?

有的读者可能觉得很简单:不就是为了便于查找吗?这个答案其实不大准确。如果只是为了方便找书,那很简单,只要在数据库上记录好每一本书的坐标,然后在地面上也注明当前坐标,这样需要借哪本书,在数据库一查坐标,然后就可以去找到那本书了,整个过程不需要用到“图书分类”这一点。所以,如果单纯考虑找书的难易程度,是无法很好的解释这个现象。

省力地借书 #

其实原因的核心在于:我们通常不只是借一本书。

前面说了,只要建好索引,在图书馆里找一本书是不难的,问题是:如果找两本呢?一般情况下,每个人的兴趣和研究是比较集中的,因此,如果我要到图书馆借两本书,那么可以合理地假设你要借的这两本书是相近的,比如借了一本《神经网络》,那么再借一本《深度学习》的概率是挺大的,但再借一本《红楼梦》的概率就很小了。借助于数据库,我可以很快找到《神经网络》,那么《深度学习》呢?如果这本书在附近,那么我只需要再走几步就可以找到它了,如果图书是随机打乱放置的,我可能要从东南角走到西北角,才找到我想要的另一本书《深度学习》,再多借几本,我不是要在图书馆里跑几圈我才能借齐我要的书?

这样一来,图书分类的作用就很明显了。图书分类就是把相近的书放在一起,而每个人同一次要借的书也会相近的,所以图书分类会让大多数人的找书、借书过程更加省力!这又是一个“偷懒攻略”。也就是说,将我们要处理的东西分类放好,相近的放在一起,这也是满足最小熵原理的。生活中我们会将常用的东西分类放在触手可及的地方,也是基于同样的原理。

图书馆规划 #

下面我们再来从数学角度,更仔细地考察这个过程。

简化的借书模型 #

假如我们到图书馆去借两本书,分别记为$i,j$,假设借第一本书的成本是$d(i)$,两本书之间的成本函数为$d(i,j)$,这也就是说,找到第一本书$i$后,我就要再花$d(i,j)$那么多力气才能找到第二本书$j$。我们可以考虑这个过程对所有人的平均,即
\begin{equation}S = \sum_{i,j} p(i)p(j|i) [d(i)+d(i,j)] = \sum_{i,j} p(i,j) [d(i)+d(i,j)]\end{equation}
其中$p(i)$是$i$这本书被借的概率,$p(j|i)$就是借了$i$之后还会再借$j$的概率。图书馆的要把书放好,那么就要使得$S$最小化。

现在我们以图书馆入口为原点,在图书馆建立一个三维坐标系,那么每本书的位置都可以用一个向量$\boldsymbol{v}$来表示,不失一般性,我们可以简单考虑$d(i)$为这本书到图书馆原点的欧氏距离,$d(i,j)$为两本书的欧氏距离,那么$S$的表达式变为:
\begin{equation}S = \sum_{i,j} p(i)p(j|i) \left[\Vert \boldsymbol{v}_i\Vert + \Vert \boldsymbol{v}_i - \boldsymbol{v}_j\Vert\right] = \sum_{i,j} p(i,j) \left[\Vert \boldsymbol{v}_i\Vert + \Vert \boldsymbol{v}_i - \boldsymbol{v}_j\Vert\right] \label{eq:chengben}\end{equation}

让我们再来解释一下各项的含义,其中$(i,j)$代表着一种借书习惯,即借了书$i$还借书$j$,$p(i,j)$代表着这种借书习惯出现的概率,实际生活中可以通过图书馆的借书记录去估算它;$\Vert \boldsymbol{v}_i\Vert + \Vert \boldsymbol{v}_i - \boldsymbol{v}_j\Vert$则代表着先借$i$再借$j$的总成本。其中$\Vert \boldsymbol{v}_i\Vert$这一项要尽量小,意味着我们要将热门的书放在靠近出口(原点)的地方;而$\Vert \boldsymbol{v}_i - \boldsymbol{v}_j\Vert$要尽量小,则告诉我们要把相近的书放在一起。

约束优化规划 #

假如我们拿到了图书馆的借书记录,也就是说已知$p(i,j)$了,那么是不是可以通过最小化$\eqref{eq:chengben}$来得到图书馆的“最佳排书方案”了呢?思想对了,但还不完整,因为很显然式$\eqref{eq:chengben}$的最小值是0,只需要让所有的$\boldsymbol{v}$都等于0,也就是说,所有的书都挤在出口的位置。

显然这是不可能的,因为实际上书不是无穷小的,两本书之间有一个最小间距$d_{\min} > 0$,所以完整的提法应该是:
\begin{equation}\begin{aligned}S =& \min_{\boldsymbol{v}}\sum_{i,j} p(i)p(j|i) \left[\Vert \boldsymbol{v}_i\Vert + \Vert \boldsymbol{v}_i - \boldsymbol{v}_j\Vert\right] = \sum_{i,j} p(i,j) \left[\Vert \boldsymbol{v}_i\Vert + \Vert \boldsymbol{v}_i - \boldsymbol{v}_j\Vert\right] \\
&\text{s.t.}\quad\forall i,j,\, \Vert \boldsymbol{v}_i - \boldsymbol{v}_j\Vert \geq d_{\min}
\end{aligned}\label{eq:chengben-2}\end{equation}
也就是说,这是一个带约束的极值问题,解决了这个问题,我们就可以得到图书馆对图书的最合理安排了(理论上)。当然,如果真的去给图书馆做规划,我们还要根据图书馆的实际情况引入更多的约束,比如图书馆的形状、过道的设置等,但$\eqref{eq:chengben-2}$已经不妨碍我们理解其中的根本思想了。

一般成本最小化 #

现在我们再将问题一般化,从更抽象的视角来观察问题,能得到更深刻的认识。

均匀化与去约束 #

我们先将成本函数$\Vert \boldsymbol{v}_i\Vert + \Vert \boldsymbol{v}_i - \boldsymbol{v}_j\Vert$代换为一般的$f(\boldsymbol{v}_i,\boldsymbol{v}_j)$,即考虑
\begin{equation}S = \sum_{i,j} p(i)p(j|i) f(\boldsymbol{v}_i,\boldsymbol{v}_j) = \sum_{i,j} p(i,j) f(\boldsymbol{v}_i,\boldsymbol{v}_j)\label{eq:yibanchengben}\end{equation}
同时$\boldsymbol{v}$可以不再局限为3维向量,可以是一般的$n$维向量。我们依旧是希望成本最低,但是我们不喜欢诸如$\Vert \boldsymbol{v}_i - \boldsymbol{v}_j\Vert \geq d_{\min}$的约束条件,因为带约束的优化问题往往不容易求解,所以如果能把这个约束直接体现在$f$的选择中,那么就是一个漂亮的“去约束”方案了。

怎么实现这个目的呢?回到图书馆的问题上,如果没有约束的话,理论最优解就是把所有图书都挤在出口的位置,为了防止这个不合理的解的出现,我们加了个约束“两本书之间有一个最小间距$d_{\min} > 0$”,防止了解的坍缩。其实有很多其他约束可以考虑,比如可以要求所有图书必须尽量均匀地放满图书馆,在这个希望之下,也能够得到合理的解

“尽量均匀”其实可以理解为某种归一化约束,因为归一,所以不能全部集中在一点,因为只有一点就不归一了。“归一”启发我们可以往概率的方向想,也就是说,先构造概率分布,然后作为成本函数的度量。在这里就不做太多牵强的引导了,直接给出其中一个选择:
\begin{equation}f(\boldsymbol{v}_i,\boldsymbol{v}_j)=-\log\frac{e^{-\left\Vert\boldsymbol{v}_i-\boldsymbol{v}_j\right\Vert^2}}{Z_i},\quad Z_i = \sum_j e^{-\left\Vert\boldsymbol{v}_i-\boldsymbol{v}_j\right\Vert^2}\label{eq:chengben-l2}\end{equation}

最小熵=最大似然 #

让我们来分步理解一下这个式子。首先如果不看分母$Z_i$,那么结果就是
\begin{equation}-\log \left(e^{-\left\Vert\boldsymbol{v}_i-\boldsymbol{v}_j\right\Vert^2}\right) =\left\Vert\boldsymbol{v}_i-\boldsymbol{v}_j\right\Vert^2\end{equation}
也就是说,这个$f$相当于成本函数为$\left\Vert\boldsymbol{v}_i-\boldsymbol{v}_j\right\Vert^2$。然后,由于分母的存在,我们知道
\begin{equation}\sum_j\frac{e^{-\left\Vert\boldsymbol{v}_i-\boldsymbol{v}_j\right\Vert^2}}{Z_i}=1\end{equation}
所以$e^{-\left\Vert\boldsymbol{v}_i-\boldsymbol{v}_j\right\Vert^2}/Z_i$实际上定义了一个待定的条件概率分布$q(j|i)$,说白了,这实际上就是对$-\left\Vert\boldsymbol{v}_i-\boldsymbol{v}_j\right\Vert^2$的一个softmax操作,而此时$\eqref{eq:yibanchengben}$实际上就是:
\begin{equation}S = -\sum_{i,j} p(i)p(j|i) \log q(j|i)\label{eq:gailvchengben}\end{equation}
对于固定的$i$而言,最小化上式这不就是相当于最大对数似然了吗?所以结果就是$q(j|i)$会尽量接近$p(j|i)$,从而全部取0不一定就是最优解的,因为全部取0对应着均匀分布,而真实的$p(j|i)$却不一定是均匀分布。

现在再来想想,我们从最小成本的思想出发,设计了一个具有概率的负对数形式的$f(\boldsymbol{v}_i,\boldsymbol{v}_j)$,然后发现最后的结果是最大似然。这个结果可以说是意料之外、情理之中,因为$-\log q(j|i)$的含义就是熵,我们说要最大似然,就是要最小化式$\eqref{eq:gailvchengben}$,其含义就是最小熵了。最大似然跟最小熵其实具有相同的含义。

Word2Vec #

只要稍微将对象一转变,Word2Vec就出来了,甚至everything2vec~

多样的度量 #

纯粹形式地看,式$\eqref{eq:chengben-l2}$的选择虽然很直观,但并不是唯一的,可取的选择还有
\begin{equation}f(\boldsymbol{v}_i,\boldsymbol{v}_j)=-\log\frac{e^{\left\langle\boldsymbol{v}_i,\boldsymbol{v}_j\right\rangle}}{Z_i},\quad Z_i = \sum_j e^{\left\langle\boldsymbol{v}_i,\boldsymbol{v}_j\right\rangle}\label{eq:chengben-dot}\end{equation}
这以内积为距离度量,希望相近的对象内积越小越好。

Skip Gram #

事实上,如果$i,j$分别代表句子窗口里边的一个词,那么式$\eqref{eq:chengben-dot}$就对应了著名的词向量模型——Word2Vec的Skip Gram模型了,也就是说,最小化
\begin{equation}S = -\sum_{i,j} p(i)p(j|i)\log\frac{e^{\left\langle\boldsymbol{v}_i,\boldsymbol{v}_j\right\rangle}}{Z_i} = -\sum_{i,j} p(i,j) \log\frac{e^{\left\langle\boldsymbol{v}_i,\boldsymbol{v}_j\right\rangle}}{Z_i}\label{eq:word2vec}\end{equation}
这正好是Word2Vec的Skip Gram模型的优化目标。

注:Word2Vec实际上对上下文向量和中心词向量做了区分,也就是用了两套词向量,但这里为了直观理解其中的思想,我们就不区别这一点。

原理类比分析 #

等等,怎么突然就出来词向量了??

我们再重新捋一下思路:是这样的,我们把每个词当作一本书,每个句子都可以看成每个人的“借书记录”,这样我们就能知道哪两本“书”经常被一起借了是吧?按照我们前面讨论了一大通的图书馆最佳放书方案,我们就可以把“书”的最佳位置找出来,理论上用$\eqref{eq:chengben-2},\eqref{eq:chengben-l2}$或$\eqref{eq:chengben-dot}$都可以,这就是词向量了~如果用式$\eqref{eq:chengben-dot}$,就是Word2Vec了。

反过来,找出一个最佳放书方案也就简单了,把图书馆的每个人的借书记录都当成一个句子,每本书当成一个词,设置词向量维度为3,送入Word2Vec训练一下,出来的词向量,就是最佳放书方案了。

那些doc2vec、node2vec、everything2vec,基本上都是这样做的。

所以,开始的问题就很清晰了:将图书馆的每本书的三维坐标记录下来,这不就是一个实实在在的“book embedding”?相近的书的向量也相近呀,跟词向量的特性完美对应~所以,自从有了图书馆,就有了embedding,尽管那时候还没有坐标系,当然也没有计算机。

再来看看t-SNE #

有了“借书记录”,也就是$p(j|i),p(i)$,我们就可以照搬上述过程,得到一个“最佳位置规划”,这就是向量化的过程。

如果没有呢?

SNE #

那就造一个出来呀!比如我们已经有了一堆高维样本$\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\dots,\boldsymbol{x}_N$,它们可以是一堆图像数据集,我们想要得到一个低维表示$\boldsymbol{z}_1,\boldsymbol{z}_2,\dots,\boldsymbol{z}_N$。我们构造一个
\begin{equation}p(\boldsymbol{x}_j|\boldsymbol{x}_i)=\frac{e^{-\Vert \boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{x}_j\Vert^2/2\sigma^2}}{\sum\limits_{j}^{j\neq i}e^{-\Vert \boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{x}_j\Vert^2/2\sigma^2}}\label{eq:pij}\end{equation}
然后还是用式$\eqref{eq:chengben-l2}$作为成本函数(假设$p(i)$是常数,即均匀分布,同时求和不对自身进行),去优化$\eqref{eq:yibanchengben}$,即
\begin{equation}S=-\sum_{i,j}^{i\neq j}p(\boldsymbol{x}_j|\boldsymbol{x}_i)\log q(j|i),\quad q(j|i)=\frac{e^{-\left\Vert\boldsymbol{v}_i-\boldsymbol{v}_j\right\Vert^2}}{\sum\limits_{j}^{j\neq i}e^{-\left\Vert\boldsymbol{v}_i-\boldsymbol{v}_j\right\Vert^2}}\end{equation}
这便是称为SNE的降维方法了。

一般来说它还有一些变种,我们就不细抠了,这也不是本文的重点,我们只需要理解基本思想。SNE本质上就是尽量保持相对距离的一种降维方案。因为它保持的是相对距离,保持了基本的形状不变,所以降维效果比PCA等方法要好。原因是PCA等方法仅仅保留主成分,只适用于比较规则的数据(比如具有中心聚拢特性、各向同性的),SNE的思想可以适用于任意连通形状。

t-SNE #

前面说得SNE已经体现出降维思想了。但是它会有一些问题,主要的就是“Crowding问题”。这个“Crowding问题”,简单来看,就是因为低维分布$\eqref{eq:chengben-l2}$也是距离的负指数形式,负指数的问题就是在远处迅速衰减到0,而$\eqref{eq:chengben-l2}$中的$\boldsymbol{v}$是我们要求解的目标,这样一来优化结果是所有的点几乎都拥挤(Crowding)在某处附近(因为指数衰减,距离较远的点几乎不会出现),效果就不够好了。

为了解决这个问题,我们可以把式$\eqref{eq:chengben-l2}$换成衰减没那么快的函数,比如说简单的分式:
\begin{equation}f(\boldsymbol{v}_i,\boldsymbol{v}_j)=-\log\frac{(1+\left\Vert\boldsymbol{v}_i-\boldsymbol{v}_j\right\Vert^2)^{-1}}{Z_i},\quad Z_i = \sum_{j}^{j\neq i} (1+\left\Vert\boldsymbol{v}_i-\boldsymbol{v}_j\right\Vert^2)^{-1}\label{eq:t}\end{equation}
这称为t分布。式$\eqref{eq:t}$、式$\eqref{eq:pij}$和式$\eqref{eq:yibanchengben}$结合,就是称为t-SNE的降维方法,相比SNE,它改善了Crowding问题。

当然,t-SNE与SNE的差别,其实已经不是本文的重点了,本文的重点是揭示SNE这类降维算法与Word2Vec的异曲同工之处。

虽然在深度学习中,我们直接用t-SNE这类降维手段的场景并不多,哪怕降维、聚类都有很多更漂亮的方案了,比如降维可以看这篇《深度学习的互信息:无监督提取特征》、聚类可以看这个《变分自编码器(四):一步到位的聚类方案》。但是t-SNE的本质思想在很多场景都有体现,所以挖掘并体味其中的原理,并与其它知识点联系起来,融汇成自己的知识体系,是一件值得去做的事情。

本文总结 #

本文基于最小成本的思想,构建了一个比较理想化的模型来分析图书馆的图书安排原理,进而联系到了最小熵原理,并且思考了它跟Word2Vec、t-SNE之间的联系。就这样,又构成了最小熵原理的一个个鲜活例子:物以类聚、分门别类,都能降低成本。比如我们现在可以理解为什么预训练词向量能够加快NLP任务的收敛、有时还能提升最终效果了,因为词向量事先将词摆在了适合的位置,它的构造原理本身就是为了降低成本呀。

同时,将很多看似没有关联的东西联系在一起,能够相互促进各自的理解,达到尽可能融会贯通的效果,其妙不言而喻~

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如果您需要引用本文,请参考:

苏剑林. (2018, Dec 02). 《最小熵原理(四):“物以类聚”之从图书馆到词向量 》[Blog post]. Retrieved from https://kexue.fm/archives/6191