精确自由落体运动定律的讨论

g也跟纬度度有关系的。
奥赛题是把物体对地球的旋转（所产生的向心力）这个因素忽略掉。

不说奥赛题。地球上的物体所受的重力是万有引力的一个分力啊。也就是说，物体受到的万有引力分解成绕地球转动的向心力（跟维度和高度有关）和重力两个分力。
一般人容易把重力等同于万有引力本身。

嗯，我的意思就是这样。
g由于维度的差异所造成的差别不是很大，小数点的问题，主要是概念上对重力的理解的问题。
另外，这里不需要引入“非惯性系”这个概念的啊。

这是一道非常经典的运动学问题，解答思路也很简单。我不太认同博主的解法，甚至认为那是歧路。
s=(g*t^2)/2，其中 g 是重力加速度，是与 s 相关的量。重力加速度 g 实际上是位移关于时间的二阶导函数，即 g=(d^2s)/(dt^2)。
简单的改写成二阶微分方程形式即可，即为 2s/(t^2)=(d^2s)/(dt^2)。
求解该二阶微分方程，再结合初始条件即可得到精确解。
还有你使用的那个公式“t=*r*r0*”用在这个场合里不太正确。
回复日期2024_11_29

自由落体系统的作用量为
$$\bbox[#FAC,15px,border:0px]{\color{black}{
S[r]=
\int_{0}^{t}\mathcal L(\dot r,r;t)dt=
\int_{0}^{t}\left(T-V\right)dt=
\int_{0}^{t}\left[\frac12m\ddot r^2+\frac{GMm}{r}\right]dt
}}$$
运用欧拉-拉格朗日方程
$$\bbox[#FEA,15px,border:0px]{\color{black}{
\frac{\partial\mathcal L}{\partial r}-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial\mathcal L}{\partial \dot r}\right)=
-\frac{GMm}{r^2}-m\ddot r=0
}}$$
得到运动方程
$$\bbox[#DAF,15px,border:0px]{\color{black}{\quad\ \ \,
\ddot r=-\frac{GMm}{r^2}
\quad\ \ \,}}$$
令 $\color{black}{v=\dot r}$ ，则 $\color{black}{\ddot r=\frac{vdv}{dr}}$ ，代入以上方程，分离变量并取积分得
$$\bbox[#ACF,15px,border:0px]{\color{black}{
\int vdv=-GM\int\frac{dr}{r^2}
}}\color{black}{\Rightarrow}\bbox[#FAA,15px,border:0px]{\color{black}{
v(r)=-2\sqrt{\frac{GM}{r}}+C
}}$$

根据初始条件 $\color{black}{v(r_0)=0}$ 可知 $\color{black}{C=2\sqrt{\frac{GM}{r_0}}}$ ，因此
$$\bbox[#FAC,15px,border:0px]{\color{black}{
v(r)=\frac{dr}{dt}=-2\sqrt{GM\left(\frac1r-\frac1{r_0}\right)}
}}$$
再次分离变量并积分得
$$\bbox[#AFA,15px,border:0px]{\color{black}{
\int\left(\frac1r-\frac1{r_0}\right)^{-\frac12}dr=
-2\sqrt{GM}\int dt=
-2\sqrt{GM}\,t-C
}}$$
令 $\color{black}{r=r_0\sin^2\theta}$ ，则
$$\bbox[#FEA,15px,border:0px]{\color{black}{
\int\left(\frac1r-\frac1{r_0}\right)^{-\frac12}dr=
\sqrt{r_0^3}\int(1-\cos2\theta)d\theta=
\sqrt{r_0^3}\left[\arcsin\sqrt{\frac{r}{\ r_0}}-\sqrt{r\left(1-\frac{r}{\ r_0}\right)\,}\right]
}}$$
因此
$$\bbox[#ACF,15px,border:0px]{\color{black}{
t(r)=
\sqrt{\frac{r_0^3}{2GM}}\left[-\arcsin\sqrt{\frac{r}{\ r_0}}+\sqrt{\frac{r}{\ r_0}\left(1-\frac{r}{\ r_0}\right)}\,\right]+C
}}$$
根据初始条件 $\color{black}{t(r_0)=0}$ 可知 $\color{black}{C=\frac\pi2r_0\sqrt{\frac{r_0}{2GM}}}$ ，因此
$$
\bbox[#FAA,15px,border:0px]{\color{black}{
t(r)=
\sqrt{\frac{r_0^3}{2GM}}\left[\frac\pi2-\arcsin\sqrt{\frac{r}{\ r_0}}+\sqrt{r\left(1-\frac{r}{\ r_0}\right)}\,\right]}}
$$