行星密度与其公转周期（更新）

===我与《天文爱好者》不得不说的故事===

去年在订阅2012年的《天文爱好者》时，考虑到之后就要上大学了，所以只是订了半年，因此过了今年六月我就没有看新的《天文爱好者》了。暑假的两个月，还有九月、十月，将近四个月没有看它了，我本以为我已经适应了没有天爱的日子。

大概一个星期前，我在天爱的淘宝网重新买了最近四个月的《天文爱好者》，18日下午，我再见了它。那天晚上，我突然觉得很感动，有种感慨万千的感觉。虽然这么久没有看了，但是再看的感觉是如此的熟悉，如此的温馨。我原来觉得天文只是我的一个业余兴趣，如同生物化学那样，但在那瞬间我明白了我真的爱着天文，而且时间和空间的距离并不能减少我的爱！在那时，我决定了，我一定要从事天文相关专业——虽然我只是一个数学系学生！

==========行星周期下限==========

（2012.10.25：zwhzjh提出攝动力公式有错误，修正了攝动力的计算公式，之前写少了一个因子2，还有在最后的实际检验时，为了追求结果的合理性，忽略了方法的科学性，现在已经进行了修正，欢迎各位提更多意见。）

本文要探讨的东西是我在阅读《天文爱好者》的时候偶然发现的。在发现系外行星以前，人们通常都认为像木星这样的气态巨行星，公转周期都应该在十年以上。因此当瑞士天文学家米歇尔·迈耶和迪戴尔·邱洛兹发现第一颗系外行星时，他们简直无法确信自己的发现，因为这颗类木行星的公转周期只有短短的4.2天！但是经过确认，这的确是一颗系外行星，颠覆了过去的看法。我饶有兴致地研究下去，企图推导出某一密度行星的公转周期下限。

各位读者不妨先估计一下，它会与什么物理量有关？行星质量？母星质量？还是...？

真相只有一个——它只与行星密度本身有关！

当然这里的结果只是通过摄动力和引力的比较简单得出的，只能作为一个数量级估计，精确估计当然要考虑各种各样因素了。

首先，假设行星质量为m，半径为r，密度为$\rho$；主星质量为M，行星与之相距R，公转周期周期是T。

一颗行星要存在，它自身的质量对表面上的物体的引力必须要大于主星对它的摄动力，要不然主星将会把它撕扯开来。我们做出这样的假设：为了稳定存在，行星自身引力必须要比主星摄动力大两个数量级（$10^2$）以上。这个比例有一定的主观性，但是有一定的合理性，毕竟如果处在临界点的话，随机的一些波动都有可能改变它的稳定性，因此要偏离临界点远一些。

那么，我们就不难列出

$10^2\frac{2GMr}{R^3}<\frac{Gm}{r^2}$ （这是我们的假设）

$m=\frac{4}{3}\pi r^3\rho$ （质量与密度）

$\frac{GM}{4\pi^2}=\frac{R^3}{T^2}$（开普勒第三定律）

联立就不难解出公转周期的下限公式

$$T > \sqrt{\frac{600\pi}{G\rho}}\approx\frac{20day}{\sqrt{\rho}}$$

最后一个公式的密度要用$kg/m^3$才能算出正确的结果。

=========系外行星的检验=========

最后的结果居然把所有的量都相互约去了，只留下了密度以及一些常数。另外，这告诉我们，周期很短的行星，密度一般都会很大，那些白矮双星甚至几分钟就可以相互公转一周，因此单从这里就可以得出白矮星的密度是非常大的。可以检验，目前我们已知的行星都满足这个结果。我们太阳系的木星、土星就不用说了，它们的周期都是十年以上，肯定满足。据网络资料，目前我们发现的速度最快系外行星是SWEEPS-10，它所绕轨道与母星之间只有74万英里（约合119万公里），半径大概是1.24 ±0.23倍木星半径，“一年”只有10小时，科学家估计它至少有1.6倍木星质量。我们也可以用上述公式估计。10小时约等于0.42天，得出$\rho \approx 2286 kg//m^3$，木星密度是$\rho \approx 1326 kg//m^3$，采用最小的半径数据，SWEEPS-10与木星的质量之比大约为

$$\frac{2286}{1326}\times 1.01^3 \approx 1.78$$

这个下限与科学家的估计相当，结果偏大，但也在一定程度上反映了我们的估计合理性！就是说，在一开始那个数量级假设上，虽然有主观性，但那是合理的。当然，这更加有种“事后拟合”的幕后原因在里边^_^

不知道各位还有什么想法呢？

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